Un número de campo que ' s Galois en $\mathbb{Q}$ es totalmente verdadera o totalmente imaginario

Question

Me encontré con la siguiente afirmación en el artículo de Wikipedia sobre totalmente imaginaria número de campos.

Deje $K/\mathbb{Q}$ ser un algebraica de números campo de Galois sobre $\mathbb{Q}$. A continuación, $K$ es totalmente real o es totalmente imaginaria.

Ahora, ya no tengo referencias de este resultado me estaba tratando de demostrar a mí mismo, y mi supuesta prueba de ello es el siguiente.

Lo que creo es que, básicamente, sólo se necesita el hecho de que $K/\mathbb{Q}$ es una extensión normal, y entonces yo uso la siguiente condición, que es equivalente a la normalidad. Desde $K/\mathbb{Q}$ es normal, a continuación, cada incrustación $\sigma: K \hookrightarrow \overline{\mathbb{Q}}$ es un automorphism de $K$, lo que significa, en particular, que $\sigma(K) = K$. A continuación, ya que o bien se han $K \subset \mathbb{R}$ o de lo $K \cap (\mathbb{C} \setminus \mathbb{R} ) \neq \emptyset$, esto muestra que $K$ es totalmente real o totalmente imaginario.

Ahora mis preguntas son si mi prueba es correcta, o si me estoy perdiendo algo, y si alguien puede proporcionarme algunas referencias donde totalmente real, totalmente imaginario y CM-campos son tratados al menos hay algunos detalles o donde puedo encontrar algunas de las propiedades básicas de estos tipos de campos numéricos.

Muchas gracias.

Answer 1

La prueba es correcta y esta es una variante.

Supongamos $\Bbb Q\subset K$ Galois con $[K:\Bbb Q]=n$. A continuación, $\text{Gal}(K/\Bbb Q)$ es el grupo de automorfismos de a $K$ y consta de $n$ elementos. Actúa por la composición en el conjunto de incrustaciones $K\hookrightarrow\Bbb C$.

Supongamos que $K$ admite un verdadero incrustación $\phi:K\rightarrow\Bbb R$ y considerar su Galois órbita. Se compone de las incrustaciones $$ K\stackrel\sigma\longrightarrow K\stackrel\phi\longrightarrow\R Bbb $$ como $\sigma\in\text{Gal}(K,\Bbb Q)$. Desde $\phi$ es inyectiva todos ellos son diferentes. Por lo tanto la órbita consta de $n$ incrustaciones.

Pero sabemos que $n$ es también el número de todas las incrustaciones. Por lo tanto, $\text{Gal}(K/\Bbb Q)$ actúa transitivamente sobre el conjunto de incrustaciones y todos ellos son reales.