Factoring el % ideal de $(8)$en un producto de ideales primeros en $\mathbb{Q}(\sqrt{-7})$

Question

Estoy tratando de factor el % ideal de $(8)$en un producto de ideales primeros en $\mathbb{Q}(\sqrt{-7})$.

No sé cómo hacerlo, y siento que me falta alguna teoría al respecto. Lo que he notado es que tenemos $$8=(1+\sqrt{-7})(1-\sqrt{-7})=2^3$$ and so I surmise the factorization will involve these numbers somehow. I also noted that $N (8) = 64 $, so the prime ideal factors will have norms that multiply out to $ 64. $ Lamentablemente no puedo seguir más allá. Se aprecian notas ni referencias.

Answer 1

Deje $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-7})$, por lo que el $\mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-7}}{2}]$ porque $-7\equiv 1\bmod 4$. Deje $(8)$ denotar el ideal generado por a$8$$\mathcal{O}_K$.

Debido a $(8)=(2)^3$, por lo que será suficiente para determinar la factorización de $(2)$$\mathcal{O}_K$, y luego la factorización de $(8)$ será el mismo con los exponentes multiplicado por $3$.

Tenga en cuenta que $$(\tfrac{1+\sqrt{-7}}{2})(\tfrac{1-\sqrt{-7}}{2})=(2).$$ La norma de $\frac{1+\sqrt{-7}}{2}$ es $$N\mathopen{\big(}\tfrac{1+\sqrt{-7}}{2}\mathclose{\big)}=\mathopen{\big(}\tfrac{1}{2}\mathclose{\big)}^2+7\mathopen{\big(}\tfrac{1}{2}\mathclose{\big)}^2=2,$$ and similarly with $\frac{1-\sqrt{-7}}{2}$, so that $\mathcal{O}_K/\mathopen{\big(}\frac{1+\sqrt{-7}}{2}\mathclose{\big)}$ and $\mathcal{O}_K/\mathopen{\big(}\frac{1-\sqrt{-7}}{2}\mathclose{\big)}$ have cardinality $2$, and they are therefore the field $\mathbb{F}_2$.

Por lo tanto los ideales $\mathopen{\big(}\frac{1+\sqrt{-7}}{2}\mathclose{\big)}$ $\mathopen{\big(}\frac{1-\sqrt{-7}}{2}\mathclose{\big)}$ son primos, por lo que $$(8)=\mathopen{\big(}\tfrac{1+\sqrt{-7}}{2}\mathclose{\big)}^3\mathopen{\big(}\tfrac{1-\sqrt{-7}}{2}\mathclose{\big)}^3.$$

Answer 2

Se considera en el dominio de Eucliean $\mathbb{Z}(\sqrt{-7})$ en el campo $\mathbb{Q}(\sqrt{-7})$