En primer lugar, hay un par de problemas con un dependiente del tiempo potencial, $V(x,t)$. Es decir, si aplicamos el teorema de Noether, la conservación de la energía puede no ser aplicable. Específicamente, si en virtud de una traducción,
$$t\to t +t'$$
el Lagrangiano $\mathcal{L}=T-V(x,t)$ cambios por no más de un total de derivados, luego de conservación de la energía va a aplicar, pero este resricts la posible $V(x,t)$, dependiendo del sistema.
Solemos tratar a cada ecuación de Schrödinger, caso por caso, como un sistema, puede propiciar un enfoque diferente, por ejemplo, el oscilador armónico se resuelve fácilmente empleando el formalismo de la creación y la aniquilación de los operadores. Si se considera un tiempo-dependiente de la potencial, la ecuación es generalmente dada por,
$$i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi}{\partial \mathbf{x}^2} + V(\mathbf{x},t)\psi$$
Dependiendo $V$, la de Laplace o la transformada de Fourier pueden ser empleados. Otro enfoque, como se ha mencionado por Jonas, es la teoría de la perturbación, la cual vamos a aproximar el sistema como un sistema más sencillo, y calcular aproximaciones de orden superior a la totalmente perturbado sistema.
Ejemplo
Como un ejemplo, considere el caso de $V(x,t)=\delta(t)$, en cuyo caso la ecuación de Schrödinger se convierte,
$$i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + \delta(t)\psi$$
Podemos tomar la transformada de Fourier con respecto a $t$, en lugar de $x$, para introducir la frecuencia angular del espacio:
$$-\hbar\omega \, \Psi(\omega,x)=-\frac{\hbar^2}{2m}\Psi''(\omega,x) + \psi(0,x)$$
que, si las condiciones iniciales son conocidos, es posiblemente una simple segundo orden de la ecuación diferencial, la cual se puede aplicar la inversa de la transformada de Fourier a la solución.
