¿Cómo demostrar que mi polinomio tiene raíces distintas?

Question

Quiero demostrar que el polinomio

$ f_p(x) = x ^ {2 p + 2} - abx ^ {p 2} - 2 x ^ {p + 1} + 1 $$

tiene raíces distintas. Aquí $a$ $b$ son los números reales y $p>0$ es un entero impar positivo. Cómo puedo probar que este polinomio tiene raíces distintas para cualquier arbitraria $a$, $b$ y $p$.

Gracias de antemano.

Answer 1

Deje $c$ denotar $ab$. Tenga en cuenta que \begin{equation*} f(x) = (x^{p+1}-1)^2 - cx^{2p} \end{ecuación*} y \begin{equation*} f'(x) = 2(p+1)x^p(x^{p+1}-1) - 2pcx^{2p-1} \end{ecuación*}

A continuación, $f(x) = 0 \iff$ \begin{equation*} c = \dfrac{(x^{p+1}-1)^2}{x^{2p}} = \varphi(x)\ (\text{say}) \end{ecuación*} y $f'(x) = 0 \iff$ \begin{align*} c & = \dfrac{(p+1)x^p(x^{p+1}-1)}{px^{2p-1}} = \dfrac{(p+1)x}{p}\dfrac{x^{p+1}-1}{x^p} \iff\\ c & = \left(\dfrac{p+1}{p}\right)x \sqrt{\varphi(x)}. \end{align*}

Por lo tanto, $f(x)$ $f'(x)$ desaparecer por el mismo $x$ si y sólo si para algunos raíz de $x$$f(x)$, \begin{align*} c & = \left(\dfrac{p+1}{p}\right)x \sqrt c \iff\\ x & = \dfrac{p\sqrt c}{p+1}. \end{align*}

Por lo tanto, para cada $p$$c = ab$, si tal y $x$ es una raíz, que es un múltiplo de la raíz.

Ahora, cuando se hace una raíz $x$ existen? Deje $x = t$ ser uno de esos. A continuación,$c = \left(\dfrac{p+1}{p} \right)^2 t^2$. Entonces, desde el $f(t) = 0$, (de la forma original de la ecuación): \begin{align*} t^{2p+2} - \left(\dfrac{p+1}{p}\right)^2 t^{2p + 2} - 2t^{p+1} + 1 = 0\\ -\dfrac{(2p + 1)}{p^2}t^{2p + 2} - 2t^{p+1} + 1 = 0\\ (2p + 1)t^{2(p + 1)} + 2p^2 t^{p + 1} - p^2 = 0. \end{align*}

Cuando se trata como una ecuación de segundo grado en $t^{p+1}$, el discriminante es \begin{equation*} 4p^4 + 4p^2(2p + 1) = 4p^2(p + 1)^2, \end{ecuación*} y por lo tanto, las soluciones son \begin{equation*} t^{p+1} = -p, \dfrac{p}{2p + 1}. \end{ecuación*} Es decir, \begin{equation*} t = (-p)^{\frac 1 {p + 1}}, \left(\dfrac p {2p + 1} \right)^{\frac 1 {p + 1}}. \end{ecuación*}

Pero la sustitución de la misma $c$$f'(t) = 0$, obtenemos \begin{align*} & 2(p+1)t^p(t^{p+1}-1)-2p\left(\dfrac{p+1}{p}\right)^2t^{2p+1}=0\\ & p(t^{p+1}-1)-(p+1)t^{p+1}=0 \implies\\ & t = (-p)^{\frac{1}{p+1}} \end{align*}

Por lo tanto, sólo la primera de las dos anteriores soluciones satisface ambas ecuaciones.

A continuación, $c = \left( \dfrac{p+1}{p} \right)^2 t^2$ nos da \begin{equation*} \boxed{c= \dfrac{(p+1)^2}{(-p)^{\frac{2p}{p+1}}}}. \end{ecuación*}

Por lo tanto, la ecuación tiene varias raíces exactamente al $c$ $p$ están relacionados con los anteriores.

Tenga en cuenta que para valores impares de $p$, $c$ será un número real si y sólo si $p$ es de la forma $4k + 1$, y a continuación, $c < 0$. Si, como se afirma en la pregunta, $c = ab$ es un número real positivo, la ecuación tiene distintas raíces.

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Ejemplo

Para $p = 1$, $f(x) = x^4 - cx^2 - 2x^2 + 1$ y $f'(x) = 4x^3 - 2cx - 4x$.

A continuación, $f(x) = 0$ $f'(x) = 0$ implica que $c = \left(\dfrac{x^2 - 1}{x}\right)^2$ $c = 2x\left(\dfrac{x^2-1}{x}\right)$ respectivamente. Por lo tanto, si $x$ es un múltiplo de la raíz, a continuación,$x = \dfrac{\sqrt c}{2}$.

Tomando $t$ ser una raíz, de modo que $c = 4t^2$, y sustituyendo en $f(t) = 0$, obtenemos \begin{align*} t^4 - 4t^4 - 2t^2 + 1 = 0\\ 3t^4 + 2t^2 - 1 = 0. \end{align*} Por lo tanto, $t^2 = -1, \dfrac 1 3$, de los cuales sólo el primero satisface $f'(t)=0$. Por lo tanto, $c = -4$.

Para $c = 4$, $x^4 + 2x^2 + 1 = 0$ tiene raíces $\pm i, \pm i$.

Answer 2

La afirmación es falsa. Conjunto de $ab:=(\frac{729}{16})^\frac{1}{3}$ y $p:=2$

$f(x)=x^6-abx^4-2x^3+1$ Tiene una raíz doble en $x=-2^{\frac{1}{3}}$

Answer 3

Con la ayuda de Mathematica el discriminante es dado por:

$$ \ Delta = \ left \ {\begin{array}{cc} (4c)^{p+1} \left[ p^{p} c^{(p+1)/2}+(p+1)^{p+1} \right]^{2} & \text{odd } p \\[5pt] (4c)^{p+1} [(p+1)^{2(p+1)}-p^{2p}c^{p+1}] & \text{even } p \end {array} \ right. \ $$

$\Delta \neq 0 \,$ If $ \, \ left \ {\begin{array}{ll} \text{odd } p=4n-1 , & c\neq 0 \\[5pt] \text{odd } p=4n-3, & c^{(p+1)/2} \neq 0, \displaystyle -\frac{(p+1)^{p+1}}{p^{p}} \\[5pt] \text{even } p, & c^{p+1} \neq 0, \displaystyle \frac{(p+1)^{2(p+1)}}{p^{2p}} \end {array} \ right. $