¿Qué es

Question

Esta es una pregunta de muestra para el examen actuarial MFE.

Deje $Z(t)$ ser un estándar de movimiento Browniano. Deje $W(t)=t^2 Z(t)-2\int_0^t sZ(s)ds$. ¿Qué es $dW(t)$?

Lo único que sé, es el Lema de Ito. Así que calcula lo siguiente:

$\frac{\partial W}{\partial Z}=t^2-\frac{\partial}{\partial Z} \big( 2\int_0^t sZ(s)ds\big).$

$\frac{\partial^2 W}{\partial Z^2}=-\frac{\partial}{\partial Z^2}\big(2\int_0^t sZ(s)ds\big)$.

$\frac{\partial W}{\partial t}=2Z(t)t-\frac{\partial}{\partial t}\big(2\int_0^t sZ(s)ds\big)$

Pero luego, no sé cómo lidiar con las partes con el integral? Aquí está la solución que yo no confiar plenamente (en parte porque no he tomado una prueba de clase basada en el cálculo estocástico).

$dW(t)=d[t^2Z(t)]-2tZ(t)dt$.

Debido a $d[t^2Z(t)]=t^2dZ(t)+2tZ(t)dt$,$dW(t)=t^2dZ(t)$.

Answer 1

Se puede resolver usando el lema de Ito, pero voy a escribirlo de una manera ligeramente diferente para evitar los problemas que vinieron después. Queremos mostrar a $dW(t) = t^2dZ(t)$. Esta es en realidad la abreviatura de: $$W(t) = W(0) + \int_0^t s^2 dZ(s)$$ También $$W(t) = t^2Z(t) - 2\int_0^t s dZ(s)$$ Podemos deducir de allí que $W(0) = 0$, por lo que nuestro objetivo final es mostrar $$\int_0^t s^2 dZ(s) = t^2Z(t) - 2\int_0^t s dZ(s)$$ Ahora podemos proceder, aplicando el Lema de Ito para el proceso de $X_t=f(t,Z(t))$ donde $f$ es la función de $$f(t, x) = t^2x.$$ Uno se

$$dX_t = f_x(t, Z(t)) dZ(t) + f_t(t, Z(t)) dt + \frac{1}{2}f_{xx}(t, Z(t))dZ(t)^2$$ El último término es $0$ porque $f$ es lineal en $x$ y nos encontramos con $$dX_t = t^2 dZ(t) + 2tZ(t) dt$$ que es la abreviatura de $$X_t = X_0 + \int_0^t s^2 dZ(s) + 2\int_0^t s Z(s) ds$$

Pero $X_t = t^2Z(t)$, por lo que se hacen.