¿Cuáles son ejemplos de casos donde coma flotante $aaaa\ne(aa)(aa)$?

Question

Como se explica en las respuestas a esta cuestión, de MODO que, debido a la falta de asociatividad de la aritmética de punto flotante multiplicación repetida como $aaaa$ no puede ser optimizado para $(aa)(aa)$. Por supuesto, además de la precisión en la mantisa, multiplicaciones pueden provocar el desbordamiento del exponente. Pero en este caso de $n$-tiempo de multiplicación hay valores de $a$ y mantisa de longitud, por lo que, ignorando las particularidades de exponente bajo-/desbordamientos de que nos iba a llegar

$$aaaa\ne(aa)(aa)?$$

Answer 1

Sea$a=1.5+u$, donde$u$ es la máquina epsilon cerca de$1.5$ (es decir, el menor$u$ tal que$1.5+u \ne 1.5$).

Entonces $a^2=2.25+3u+u^2$. Asumiendo el redondeo al más cercano, esto da$a^2=2.25+4u$.

Entonces$(a^2)(a^2)=5.0625 + 18 u + 16 u^2$, que redondea a$5.0625 +20u$.

Por otro lado,$a^3=a(a^2)=(1.5+u)(2.25+4u)=3.375+8.25 u+4 u^2$, que ronda a$3.375+8u$.

Finalmente,$a^4=a(a^3)=(1.5+u)(3.375+8u)=5.0625+15.375u+8u^2$, que redondea a$5.0625+16 u$.

Por lo tanto,$a(a(aa))\ne(aa)(aa)$ en este caso.

Observe cómo$a(a(aa))$ es más preciso que$(aa)(aa)$ en este caso, incluso si se necesitan más multiplicaciones.