Encuentre el valor de$\int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x+1}dx$

Question

Encontrar el valor de %#% $ #%

No tengo solución para este problema. ¿Me puedes ayudar?

Answer 1

ps

Answer 2

Realizar la sustitución de $u= ln(x)$, $e^u = x \rightarrow e^u du = dx$ . Tenemos, entonces se debe evaluar

$$\int_{1}^{e} \frac{ue^u}{e^u+1}$$

Invocamos Integración por partes,

$$\int fg' = fg - \int f'g$$

donde $f = u, g'= \frac{e^u}{e^u+1}$

Nos da

$$u \int \frac{e^u}{e^u+1} du- \int \int \frac{e^u}{e^u+1} du \ du$$

Para evaluar

$$\int \frac{e^u}{e^u+1} du$$

Deje $r = e^u + 1, dr = e^u$ nos da

$$\int \frac{1}{r} dr$$

Que es $\ln(r) = \ln(e^u+1)$

Por lo tanto:

$$u \int \frac{e^u}{e^u+1} du- \int \int \frac{e^u}{e^u+1} du \ du$$

Se reduce a:

$$u \ln(e^u+1) - \int \ln(e^u+1) du$$

Este no es inmediatamente obvio (golpe de Wolfram) para integrar, pero los rendimientos:

$$u \ln(e^u+1) + Li_2(e^{-u})$$

Que reduce a

$$\ln(x)\ln(x+1) + Li_2(\frac{1}{x})$$

Entonces podemos tomar la diferencia de la evaluación en correo y, a continuación, 1 y restar.

Answer 3

$$\begin{align} \int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x+1}dx&=\int_1^e\int_{y=1}^x\frac{1}{y}\frac{1}{x+1}dydx\\ &=\int_1^e\int_{x=y}^e\frac{1}{y}\frac{1}{x+1}dxdy\\ &=\int_1^e\frac{\log(e+1)-\log(y+1)}{y}dy\\ &=\int_1^e\frac{\log(e+1)}{y}dy-\int_1^e\frac{\log(y+1)}{y}dy\\ &=\log(e+1)-\int_1^e\frac{\log(y+1)}{y}dy\\ &=\log(e+1)-\int_1^e\sum_{j=0}^{\infty}\frac{(-y)^j}{j+1}dy\\ &=\log(e+1)-\sum_{j=0}^{\infty}(-1)^j\frac{e^{j+1}-1}{(j+1)^2}\\ &=\log(e+1)+\sum_{j=0}^{\infty}\frac{(-e)^{j+1}}{(j+1)^2}-\sum_{j=0}^{\infty}(-1)^{j+1}\frac{1}{(j+1)^2}\\ &=\log(e+1)+\sum_{j=1}^{\infty}\frac{(-e)^j}{j^2}-\sum_{j=1}^{\infty}(-1)^j\frac{1}{j^2}\\ &=\color{blue}{\log(e+1)+\text{Li}_2(-e)+\frac{\pi^2}{12}} \end{align}$$