¿Cómo puedo leer este diagrama?

Question

Tuve mi primera categoría de la teoría de la clase de hoy el profesor utiliza este tipo de diagramas, y términos como "el diagrama de desplazamientos". Yo vengo de otra universidad, y no tengo idea de lo que este tipo de diagramas decir, y como el profesor asume todo el mundo sabía lo que significan, yo estaba demasiado avergonzado para preguntar.

Junto al diagrama, se debe leer "$S\xrightarrow{v}V,\, v=\{v_s\}_{s\in S}$".

También, debe ser "$\exists !$ transformación lineal $g$ de manera tal que el diagrama de desplazamientos".

El contexto es que él estaba tratando de definir lo que significa para un conjunto de ser una base de un espacio vectorial en categorías de lenguaje.

E: Gracias por la muy esclarecedoras respuestas, hay un par de cosas que todavía no entiendo:

• Si lo único que me dan es el diagrama (con el texto que yo escribí) debo asumen de alguna manera que $S,V,W$ son conjuntos y que algunos de ellos (creo $V,W$) son espacios vectoriales?

• ¿Cuál es el significado de la diagonal $\equiv$ símbolo en el centro del diagrama? La misma pregunta para el "roto" flecha de$V$$W$.

• Mi profe fue el tratamiento de este diagrama como una "ecuación", en donde se está buscando una solución, esta solución debería ser la base de algunos de espacio vectorial. Por lo tanto el diagrama de "define" la noción de base categóricamente, podría alguien explicar esto un poco más en detalle? Que el "elemento" es el que estamos en la "solución"? Es poco $v$?

Answer 1

Piensa en $v$ como una función cuyo dominio es $S$ y cuyo codomain es $V$ y $f$ semejantemente como una función de $S$ $W$. Es decir existe una función $g$ $V$ $W$ tal que $g\circ v = f$. El % de igualdad $g\circ v = f$, que implica una composición de funciones, es lo que significa decir esto "conmuta".

En un resumen más ajuste, $v$, $f$ y $g$ pueden ser algo distinto de la función y la operación puede ser algo distinto de composición de funciones.

Answer 2

La frase "el diagrama conmuta" significa que por cada $s\in S$, $f(s)=g(v(s))$ (es decir, si escoges cualquiera de las direcciones posibles de $s\in S$ llegar al mismo lugar en $W$)

Ahora, sería un buen ejercicio para usted probar eso si $S=\{1,2,\ldots,n\}$ $V=\{v_1,\ldots,v_n\}\subseteq \mathbb{R}$ es una base para $\mathbb{R}$ si y sólo si para cada función $f:S\to W=\mathbb{R}$ allí existe una única función $g:V\to W$ tal que el diagrama conmuta.

[Pensar en $g$ como una función que seleccione las coordenadas del vector $(f(1),\ldots,f(n))$ en la base $V=\{v_1,\ldots,v_n\}$.]

Answer 3

Voy a asumir que usted está familiarizado con el concepto típico de base y que cualquier operador lineal puede ser definido sólo por la especificación de que la acción sobre los vectores de la base y, a continuación, extendido por la linealidad. Esto es lo que este diagrama describe:

Deje $V$ ser un espacio vectorial, y deje $S$ es subconjunto, y $v\colon S\to V$ la inclusión del conjunto. A continuación, $S$ es la base de la $V$ si y sólo si para cualquier función de $f\colon S\to W$ existe lineal único mapa de $g\colon V\to W$ tal que $g\circ v = f$.

Ahora, esto solo significa que $g$ es lineal único mapa que restringe a $f$. Esto es sólo la afirmación categórica de la anterior propiedad de que cualquier función definida sobre la base puede ser el único extendida por la linealidad.

Ahora, a sus preguntas concretas:

Generalmente, usted debe asumir que todos los objetos, en este caso $S$, $V$, $W$, se encuentran en la misma categoría (por ejemplo, la categoría de conjuntos, de la categoría de espacios vectoriales). El diagrama es un poco la versión simplificada de este tipo de diagrama, ya que cada espacio vectorial es un conjunto y cada lineal mapa es una función. La historia real que está sucediendo tanto en la categoría de conjuntos y de la categoría de espacios vectoriales: estamos utilizando una función de $f$ entre los conjuntos de $S$ $W$ a inducir lineal mapa de $g$ entre espacios vectoriales $V$ $W$ . Si usted compara los vinculados con el diagrama de su situación, lado izquierdo estaría dentro de la categoría de conjuntos, y en el lado derecho en la categoría de espacios vectoriales, mientras que $U$ indica que "se olvide" de que $V$ $W$ son espacios vectoriales y sólo recuerda que son conjuntos. Espero que esto aclara la confusión.

El $\equiv$ signo significa que, probablemente, diagrama de desplazamientos, es decir,$g\circ v= f$. Línea discontinua significa generalmente inducida por el mapa (de morfismos en el sentido de la categoría de la teoría).

Para la última parte, no puedo estar seguro de lo que su profesor realmente quería decir, pero se podría pensar en esto como un problema de definir lineal mapa en todo espacio vectorial sólo por el conocimiento de sus valores en algún subconjunto. Siendo una base es la solución óptima para el problema, ya que siempre puede únicamente ampliar cualquier función definida en base a lineal mapa. Todos los otros subconjuntos fallar en ese sentido.