Demostrar que una matriz es inversible por factorización

Question

Que $P_5$ sea el espacio vectorial de polinomios de grado $\leq$ 5 $Q$.

$P_5 = {a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4 + a_5x^5: a_i \in Q}$ % que $D: P_5 \longrightarrow P_5$ser el % de mapa lineal $D(\alpha) = \frac{d \alpha}{dx}$. Por factorización de la expresión $D^6 - Id$ mostrar que $D^4+D^2+Id: P_5 \longrightarrow P_5$ es invertible y anote su inversa.

No estoy seguro cómo puedo mostrar que $D^4+D^2+Id$ es invertible, pero traté de factorización de la expresión dada de la siguiente manera:

$$ \begin{align*} D^6 - Id &= D^6 - Id^6\\ &= (D-Id) (D^5 + D^4Id + D^3Id^2 + D^2Id^3 + DId^4 + Id^5)\\ &= (D-Id)(D^5 + D^4 + D^3 + D^2 + D + Id)\\ &= (D-Id) (D^3(D^2+D+Id) + D^2 + D+Id)\\ &= (D-Id) (D+Id) (D^4+D^2+Id)\\ &= (D^2 - Id) (D^4 + D^2 + Id)\end{align*} $$

y ahora no sé qué hacer

¡Gracias de antemano!

Answer 1

$\DeclareMathOperator{\Id}{Id}$ Sugerencia: $D^6(\alpha) \equiv 0_{P_5} \forall \alpha \in P_5$ desde diferenciar % polinomio $\alpha \in P_5$tener grado $\le 5$ da cero.

De la factorización de $D^6 - \Id$, vemos que el $(D^4 + D^2 + \Id)(\Id - D^2) = \Id$. Por lo tanto, el operador $D^4 + D^2 + \Id$ es invertible, con inversa $\Id - D^2$.

Answer 2

En un anillo $R$ $u \in R$ es invertible si $u v = v u = 1$, $v \in R$.

Aquí $R$ es el anillo (en composición) de $\mathbb{Q}$-operadores lineales en $P_5$, $u = D^4 + D^2$ y $1_R = Id$. ¿Ves qué $D^6$ hace a $P_5$? Si es así, usted verá que usted ha encontrado el $v$.