Propiedades globales de las variedades del espaciotiempo

Question

Al resolver las ecuaciones de campo de Einstein,

$$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R = 8\pi GT_{\mu\nu}$$

para un tensor de tensión-energía particular, obtenemos la métrica de la variedad del espaciotiempo, $g_{\mu\nu}$ que dota al colector de cierta estructura geométrica. Sin embargo, ¿cómo podemos deducir propiedades globales de una variedad del espaciotiempo con los limitados conocimientos que solemos tener (es decir, simplemente la métrica)? Por ejemplo, ¿cómo podemos deducir:

• Si el colector es cerrado o exacto
• Homología y cohomología de Rham
• Compactibilidad

Sé que si podemos establecer la compacidad, se puede llegar fácilmente a la característica de Euler, y por tanto al género de la variedad, utilizando el teorema de Gauss-Bonnet-Chern,

$$\int_M \mathrm{Pf}[\mathcal{R}] = (2\pi)^n \chi(M)$$

donde $\chi$ es la característica de Euler y $n$ la mitad de la dimensión del colector $M$ . Además, las clases de Chern del haz tangente calculadas utilizando la métrica proporcionan información sobre la cohomología. Obsérvese que esta cuestión no se limita realmente a las variedades espaciotemporales. Hay muchos escenarios en la física en los que sólo podemos conocer información limitada hasta la métrica, por ejemplo, los espacios de moduli. Sería interesante ver cómo se pueden deducir propiedades globales.

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Esta pregunta se inspira en unas breves discusiones en el S.E. de Física con el usuario Robin Ekman, y me gustaría dar las gracias a Danu por poner una recompensa; ¡una agradable sorpresa!

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Se valorarán los recursos, especialmente los artículos de revistas, que se centren en abordar las propiedades globales de los espaciotiempos (o espaciostiempos más exóticos, por ejemplo, orbifolds).

Answer 1

Bueno, el caso más sencillo es que algunas topologías del espaciotiempo sólo permitan una clase particular de métricas. Pero, por desgracia, suele ser necesario conocer la métrica en cada punto para estar bastante seguro.

Aquí hay algunas cosas que probablemente podemos suponer sobre el colector espaciotiempo :

• Toda la jerga habitual sobre las variedades en relatividad general (paracompacidad, Hausdorff, etc.). Este no es necesariamente el caso, ya que algunas teorías pueden permitir versiones más extrañas, o permitir topologías más generales como colectores con límites y conifolds, pero eso es lo que se suele suponer para obtener una métrica lorentziana. El hecho de que el espaciotiempo sea una variedad conectada no es realmente una restricción física, sino más bien metafísica: no se puede decir gran cosa de cualquier trozo desconectado de espaciotiempo, ya que no puede afectar al nuestro. Por cierto, si tu colector es realmente compacto, sólo los espaciostiempos con características de Euler 0 admiten una métrica lorentziana, ya que necesitas tener un elemento de línea.

• También se suele suponer que tiene algunas condiciones de causalidad. Puede que no sea necesariamente cierto, pero parece una posibilidad bastante remota. Si el espaciotiempo es causal (sin bucles causales), no puede ser compacto. Si además quiere que sea globalmente hiperbólico (sin bucles ou singularidades desnudas), fijará la topología como $\mathbb{R} \times \Sigma$ , $\Sigma$ algún 3-manifold, por el teorema de Geroch.

• Para obtener la topología a partir de la métrica, otra restricción importante es la completitud geodésica: ninguna geodésica debe tener un rango finito en su parámetro afín. Se puede poner el espacio de Sitter en $\mathbb{R}^4$ , pero al igual que en la proyección estereográfica de una esfera, se llegará al "borde" cuando una geodésica intente pasar por el otro polo pero no encuentre ninguno.

• Debido a la dependencia de la física de partículas de la inversión del tiempo y la inversión del espacio, se supone que el espaciotiempo es a la vez orientable en el tiempo y orientable en el espacio. Si no lo fuera, no habría $SO^+(3,1)$ y como tal sin grupos de espín, sino sólo los grupos Pin, con propiedades diferentes para los fermiones.

Éstas son algunas cosas bastante genéricas que se pueden decir sobre el espaciotiempo a partir de algunas suposiciones, esperamos que bastante razonables. Sin embargo, las pruebas experimentales de la topología son más difíciles.

• El Teorema de la Censura Topológica es un teorema (clásico) relativo a la capacidad de calibrar la topología del espaciotiempo. De Visser :

"En cualquier espaciotiempo asintóticamente plano y globalmente hiperbólico tal que toda geodésica nula inextensible satisface la condición de energía nula promediada, toda curva causal desde el infinito nulo pasado hasta el infinito nulo futuro es deformable hasta la curva causal trivial".

Lo que descarta, si se cumplen todas las condiciones, la capacidad de enviar una partícula por cualquier trayectoria a lo largo de un asa topológica (o agujero de gusano, en la ciencia).

• Se puede intentar comprobar la topología de la hipersuperficie del espaciotiempo simplemente observando cualquier patrón que se repita, pero hasta ahora esto no ha tenido ningún éxito. El observatorio espacial PLANCK tenía, entre otras misiones, buscar cualquier correlación en el CMB que pudiera indicar alguna dimensión compactada del espacio.

• Edición : Ah, y por cierto, que el espacio sea compacto en alguna dimensión también afectará a los modos de cualquier campo en él (el llamado efecto Casimir topológico). La compacidad no orientable también tiene algunos efectos diferentes.

Answer 2

El problema de la frontera del valor inicial en relatividad general sólo proporciona la métrica en una parte del espaciotiempo. Hay que utilizar otros métodos para encontrar la verdadera extensión global de ese espaciotiempo. Por lo tanto, la ecuación de Einstein por sí sola no puede indicar la topología del espaciotiempo.