Ecuación que implica un determinante de una matriz$n\times n$

Question

Me gustaría resolver la siguiente ecuación que implica un determinante de una matriz$n \times n $: $$ \begin{vmatrix} 2\cos \theta & -1 & 0 & \cdots & 0 \\ -1 & 2\cos \theta & -1 & \cdots & 0 \\ 0 & -1 & 2\cos \theta & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0&0&0&\cdots& 2\cos \theta \end {vmatrix} = 0 $$ donde$0 \le \theta \le \pi $. He hecho algunos intentos de matrices pequeñas, y parece que la solución es$\theta=\frac{k\pi}{n+1}$ para$k=1, 2, \cdots, n$

Sin embargo, no puedo probar un caso generalizado (para arbitrario$n$). ¿Cómo puedo probar el caso generalizado?

Gracias.

Answer 1

Si$d_n$ es el determinante de la matriz$n \times n$, no es difícil verificar que satisface la recurrencia$d_n = 2 \cos \theta \, d_{n-1} - d_{n-2}$ sujeto a$d_{-1} = 0, d_0 = 1$.

La ecuación característica es$\lambda^2 - 2 \cos \theta \lambda +1 = 0$ que tiene raíces$\lambda = e^{\pm \theta}$.

En primer lugar, observe que si$\cos \theta = 1$ entonces$d_n = n$ y si$\cos \theta = -1$ entonces$d_n = (-1)^{n+1} n$.

La solución general (para$|\cos \theta| < 1$) es de la forma$n \mapsto b e^{i n \theta} + c e^{-i n \theta}$, y la resolución de las condiciones iniciales da$d_n = { \sin ((n+1)\theta) \over \sin \theta}$.

Resolviendo$d_n = 0$ proporciona las soluciones requeridas.

Answer 2

Sea$a_n$ el valor del determinante$n \times n$ en cuestión, tenemos:$a_n = 2\cos \theta \cdot a_{n-1}- a_{n-2}$. Usando el enfoque de la ecuación característica tenemos:$x^2 - 2\cos \theta x + 1 = 0\implies \triangle'=\cos ^2\theta-1 = -\sin^2 \theta\implies x = \dfrac{\cos \theta \pm i\sin \theta}{2}$. ¿Puede continuar aquí?