Cero/Cero preguntas y tal vez una lógica defectuosa

Question

Así que sólo tengo un nivel de comprensión de álgebra II de las matemáticas, ya que todavía estoy en la escuela secundaria y todavía me faltan algunos fundamentos, ya que no presté atención en las matemáticas hasta este año. Sin embargo, al recordar algo que mi profesor de álgebra me había enseñado durante el año se me ocurrieron algunas preguntas sobre la lógica recientemente.

Así que durante el año escolar, me enseñaron que $ \frac {2}2=1, \frac {a}a=1, \frac {xy}{xy}=1$ y así sucesivamente, pero $ \frac {0}0= \text {Undefined}$ ... y mientras investigaba este tema encontré que la forma algebraica de escribir todas estas fracciones es como tal $2(x)=2, a(x)=a,$ y $0(x)=0$ y al investigar esto más a fondo encontré que la razón por la que $ \frac00 $ no está definido es que para cualquier valor de $x$ la ecuación es cierta. Sin embargo, viendo que en la fracción $ \frac {a}a$ $a$ es una variable y las variables pueden representar cualquier cantidad dada Me preguntaba en el caso de que $a=0$ sería $ \frac {a}a$ todavía $=1$ y si no, por qué junto con el hecho de que digamos $a=0$ y no sabías por qué es seguro asumir que $a$ nunca sería igual a cero? También si se da el caso de que cuando $a=0, \frac {a}a=1$ (lo cual dudo que sea) ¿no debería esto significar que $ \frac {0}0=1$ ¿Entonces?

Answer 1

$$ \frac {a}{a} = \begin {cases} 1 & a \neq 0 \\ \text {undefined} & a = 0 \end {cases}$$

Estrictamente hablando, tienes que comprobar si $a$ es cero antes de cancelar los términos del numerador o del denominador.

Incluso antes de que escribamos $ \frac {a}{a}$ deberíamos comprobar primero si el denominador puede ser cero, es decir, comprobarlo antes de escribir dicho término. (Crédito : Sean Roberson)

Answer 2

Si estás trabajando en problemas o haciendo pruebas necesitas saber que $a \ne 0$ si $a/a$ aparece. Aunque $a$ es una variable, todavía representa algo, y tienes que entender lo que representa lo suficientemente bien para saber que no será cero. Alternativamente puedes decir algo como: para $a \ne 0$ entonces $a/a=1$ .

Ejemplo 1. Problema: Dejar $a$ ser el número de libras de manzanas, y $P$ ser el precio en dólares de $a$ libras de manzanas más 10 centavos por un saco. ¿Cuál es el costo por libra de manzana? Respuesta: el costo por libra de manzanas (en dólares) es $(P-0.1)/a$ si $a$ no es cero. En este ejemplo puede ser sabido implícita o explícitamente que $a \ne 0$ (por ejemplo, "George compra $a$ libras de manzanas" implica $a \ne 0$ ), en cuyo caso la calificación no es necesaria, pero aún así no duele.

Ejemplo 2. Problema: Dado que $a+b=15$ dan una expresión que es la proporción de $b$ a $a$ en términos de $a$ . La respuesta simple es $ratio = \frac {15-a}{a}$ . Sin embargo, esa respuesta debe ser calificada como "para $a \ne 0$ entonces $ratio = \frac {15-a}{a}$ ", o incluso podría ser mejor decir "para $0 <a \le 15$ entonces $ratio = \frac {15-a}{a}$ ", dependiendo del contexto del problema. En este caso no sabes lo que $a$ es, y por la forma en que planteé el problema no sabes qué valores $a$ puede tener, por lo que se ve obligado a obtener una aclaración sobre el problema o declarar sus suposiciones.

Answer 3

Para abordar su pregunta usando el álgebra, usted define formalmente $$ \frac {a}{b}=(a,b)$$ donde $b \ne 0.$ La razón de esta última condición es cómo se definen las fracciones como equivalentes. A saber, si $(c,d)$ con $d \ne 0$ dices $(a,b)=(c,d)$ cuando $ad=bc.$

Puede utilizar la relación para definir la suma y la multiplicación de estos pares ordenados

$$(a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd) \quad \quad (a,b) \cdot (c,d)=(ac,bd).$$

Lo anterior debería parecer muy familiar, porque es la suma y la multiplicación de fracciones.

Por último, considerar $ \frac {0}{0},$ que es $(0,0),$ te encuentras en una mala situación, porque estás en conflicto directo con la definición de una fracción. Lo siguiente que puedes intentar es asumir que si $(0,0)$ existe, entonces $(0,0)=(a,b)$ precisamente cuando $a \cdot 0= b \cdot 0,$ así que ves que cualquier $(a,b)$ es equivalente a $(0,0),$ eso es, $ \frac {0}{0}$ no está bien definido. Si tú y yo hacemos los cálculos en habitaciones separadas, usando las mismas reglas para la aritmética entonces ambos podemos terminar con resultados diferentes, incluso si lo que hicimos fue "permitido". Intentémoslo. Haces un cálculo con $ \frac {0}{0},$ y haré una abajo, para comparar tu trabajo con el mío.

Toma $$ \frac {0}{0} \cdot \frac {1}{0}$$ y $$ \frac {0}{0} \cdot \frac {2}{0}$$ estos, de acuerdo con la aritmética tradicional, producen $$ \frac {0 \cdot 1}{0 \cdot 0} \text { and } \frac {0 \cdot 2}{0 \cdot 0}$$ Desde $0 \cdot0 =0,$ tenemos $$ \frac {0 \cdot 1}{ 0} \text { and } \frac {0 \cdot 2}{ 0}$$ produciendo $$1 \cdot \frac {0}{ 0} \text { and } 2 \cdot \frac {0}{ 0},$$ y si $ \frac {0}{0}=1,$ (¡que es una elección!) entonces llegamos a la declaración contradictoria, $$1=2.$$ Lo que indica, en gran medida, la afirmación anterior de que $(0,0)=(a,b),$ que cualquier fracción $(a,b)$ donde $b=0,$ es equivalente a cualquier número que usted quiera.

Por lo tanto, concluimos que la división por cero no está bien definida, y no puede ser permitida con la aritmética estándar.

Answer 4

¡Tu lógica es muy buena! Otra forma de expresar la conclusión: es NO es cierto que " $ \frac {a}{a}=1$ siempre ". La verdadera afirmación es que

$ \displaystyle\frac {a}{a}=1$ siempre (es decir, para cualquier número $a$ ) cuando es bien definido .

Esta redacción más cuidadosa nos recuerda que primero tenemos que comprobar si la expresión está bien definida; y con una rápida mirada nos daríamos cuenta de que esta propiedad no es aplicable a $a=0$ .

Answer 5

Puede que, en algún momento, aprendas sobre límites en las matemáticas. Los límites consisten en mirar cómo se comportan las cosas particulares cuando se acercan a ciertos valores, por ejemplo, el límite de la secuencia $2.1, 2.01, 2.001, 2.0001, \ldots $ es sólo 2, mientras que el límite de la secuencia $2, 3, 4, 5, 6, \ldots $ no existe (y a veces decimos que el límite "es" el infinito, aunque eso es sólo una notación y no significa que debas tratar el infinito como un número real).

También puede tener límites que impliquen acercarse a un valor desde dos direcciones. Por ejemplo, si tenemos la función $xy$ (es decir. $x$ multiplicado por $y$ ), entonces a medida que nos acercamos al punto $x = 2, y = 3$ desde cualquier dirección posible entonces siempre nos acercamos al valor 6. No importa si sólo fijamos $x = 2$ y luego intentar $y = 2.9, 2.99, 2.999, 2.9999, \ldots $ o si venimos a través de los pares $(1.9, 3.1), (1.99, 3.01), (1.999, 3.001), \ldots $ o lo que sea, siempre se acerca más y más a ser 6.

Sin embargo, si tenemos la función $ \frac {x}{y}$ y quieren encontrar el límite en el punto (0, 0), entonces importa mucho desde qué dirección nos acercamos. De hecho, si hay un valor que quieres obtener como límite, hay una dirección a la que te puedes acercar desde donde el límite parecerá ser ese valor - ven a lo largo de la $x = 0$ y el límite es sólo 0. Pero intenta venir de parejas como $(10, 10), (1, 1), (0.1, 0.1), (0.01, 0.01), \ldots $ y el límite es 1. Vienen de otra dirección, y el límite es -10, o un googol. Incluso hay una forma de tomar el límite para que se convierta en infinito. Ya que podemos asignar cualquier valor límite posible, no podemos elegir un valor significativo - y por lo tanto decimos que la función $ \frac {x}{y}$ tiene valor indeterminado en el punto $(0, 0)$ porque no podemos determinar de manera significativa qué valor tiene debería tienen.