Diferencias entre endomorfismos nilpotentes y nilpotentes puntuales.

Question

Consideremos un endomorfismo de un módulo $f:M\rightarrow M$ . Tenemos que $f$ es nilpotente puntualmente si $\forall x\in M,\ \exists n,\ n\in \mathbb N$ tal que $f^{n}(x)=0$ . Ya sé que las definiciones de nilpotente y nilpotente puntual no son equivalentes, pero no sé si es posible afirmar cuándo un endomorfismo nilpotente puntual es un morfismo nilpotente. En particular, ¿hay algunas propiedades algebraicas (para los módulos) que caractericen a los morfismos nilpotentes puntuales?

Answer 1

Para empezar es fácil ver que si el módulo $M$ está generada finitamente, entonces cada endomorfismo puntualmente nilpotente $f \colon M \to M$ es también un endomorfismo nilpotente.

Otra observación es que dado un módulo $M$ y un endomorfismo $f \colon M \to M$ tenemos la familia $\langle \ker f^n \rangle_{n \in \mathbb N}$ que da una filtración ascendente de $M$ $$\{0\}= \ker f^0 \subseteq \ker f \subseteq \dots \subseteq \ker f^n \subseteq \cdots.$$ $f$ siendo puntualmente nilpotente equivale a decir que $M= \bigcup_{n \in \mathbb N} \ker f^n$ , requiriendo que $f$ es también nilpotente equivale a exigir que $f$ es puntualmente nilpotente y también la filtración ascendente se estabiliza: es decir, para un $n \in \mathbb N$ tenemos que $\ker f^n = \ker f^{n+k}$ para todos $k \in \mathbb N$ .

Esto también demuestra fácilmente que para los módulos generados finitamente $f$ es puntualmente nilpotente si $f$ es nilpotente, por lo que la equivalencia entre punto y global La nilpotencia es válida para los módulos noeterianos.

No sé si hay una caracterización más útil o más fuerte. Espero que esto ayude.

Editar: ya que el usuario lo pidió aquí hay un ejemplo de endomorfismo de un módulo que es puntualmente nilpotente pero no nilpotente.

Considere la $\mathbb Z$ módulo $$M= \bigoplus_{n \in \mathbb N} \mathbb Z/\langle 2^n e_n \mid n \in \mathbb N\rangle$$ donde la familia $\langle e_n \rangle_{n \in \mathbb N}$ es la base canónica de $\bigoplus_{n \in \mathbb N} \mathbb Z$ y el $\langle 2^n e_n \mid n \in \mathbb N\rangle$ es el submódulo generado por los elementos $2^ne_n$ .

El módulo $M$ es generada por las imágenes de los elementos $e_n$ a través de la proyección del cociente, llamemos $\bar e_n$ la imagen de $e_n$ a través de dicha proyección.

Está el homomorfismo obvio $f \colon M \to M$ dado por $f(m)=2m$ . Para cada $n \in \mathbb N$ tenemos que $f^n(m)=2^n m$ y así tenemos que para cada $n \in \mathbb N$ y cada $k \in \mathbb N$ tal que $k \leq n$ la igualdad $$f^n(\bar e_k)= 2^n \bar e_k = 2^k \bar e_k=0$$ mientras que para $k > n$ tenemos que $$f^n(\bar e_k)=2^n \bar e_k \ne 0$$ desde $2^{n}e_k$ no está en el núcleo de la proyección canónica de $\bigoplus \mathbb Z$ a $M$ .

Ya que para cada $m \in M$ debe haber un $n \in \mathbb N$ tal que $m = a_1 \bar e_1 + \dots + a_n \bar e_n$ para algunos $a_1,\dots,a_n \in \mathbb Z$ se deduce que $$f^n(m)=a_1 f^n(\bar e_1) + \dots + a_n f^n(\bar e_n) = 0$$ así que $f$ es puntualmente nilpotente, sin embargo para cada $n \in \mathbb N$ hemos visto que $f^n(\bar e_{n+1}) \ne 0$ así que $f^n\ne 0$ por cada $n \in \mathbb N$ .

Answer 2

Una condición que obliga a que los endomorfismos localmente nilpotentes sean nilpotentes es generación finita del módulo subyacente. Puedo imaginar que hay otras condiciones que obligan a los endomorfismos localmente nilpotentes a ser nilpotentes, pero probablemente dependerán de alguna otra condición impuesta al módulo o al anillo base, o posiblemente de la clase de morfismos que se permita en esa categoría.

Esta es otra condición: si $M$ es un módulo noetheriano entonces los endomorfismos localmente nilpotentes son nilpotentes, ya que los núcleos de $f^n$ forman una cadena creciente de submódulos que finalmente contiene todos y cada uno de los elementos de $M$ . Como esa cadena está estancada por hipótesis, tiene que ser igual a $M$ después de una cantidad finita de pasos, es decir : para algún número entero $m$ , $\mathrm{Ker}(f^m)=M$ .