La pregunta de la aplicación del teorema de Taylor,$f(x)$ smooth y$f(0)=0$ implica$f(x)/x$ smooth.

Question

Me pregunto el siguiente hecho, y creo que sé la respuesta, pero no estoy seguro de por qué.

Si$f(x)$ es una función suave de$\mathbb{R}$ a$\mathbb{R}$, si$f(0)=0$, es cierto que$f(x)/x$ es suave?

Creo que esta es una aplicación del teorema de Taylor (un texto que estaba leyendo el teorema de Taylor usado en alguna parte de una prueba, y creo que es esta parte), sin embargo, no veo por qué.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

El teorema de Taylor con el resto integral en el orden 0 (esta es una forma muy pendenciera de llamar el teorema fundamental del cálculo) produce f (x) = f (0) \ int_0 ^ xf '(t) \, dt = f (0) x \ int_0 ^ 1f '(ux) \, du $$

Por lo tanto, el uso de$f(0)=0$, $$ \ frac {f (x)} {x} = \ int_0 ^ 1 f '(ux) du $$ es suave.