Aproximación relativa de CW, fibraciones de Hurewicz y fibraciones de Serre

Question

Deje $B$ ser un número finito de CW complejo y $p:E\to B$ un Hurewicz fibration.

Sé que cada espacio topológico $E$ tiene el débil(!) homotopy tipo de un CW complejo de $D$ realizado por un débil equivalencia $f:D\to E$. (Pido disculpas por preguntar dos cosas en una sola pregunta, pero que están tan relacionados que dividirlas parece un poco exagerado.)

1. Es posible encontrar un CW complejo de $D'$, un Hurewicz fibration $p':D'\to B$ y un débil equivalencia $f':D'\to E$ tal que $p'=p\circ f'$?

2. Es posible encontrar un Serre fibration $q:C\to B$ y un débil equivalencia $g:C\to E$ tal que $q=p\circ g$? ¿Puedo elegir a $C$ a ser un CW complejo?

ADDENDUM:

Debido a Henry T. Horton gran respuesta, toda la cuestión se reduce a la siguiente pregunta.

Deje $E$ ser un espacio topológico. Es posible encontrar un CW complejo de $D$ y un débil equivalencia $f:D\to E$ tal que $f$ es también un Serre fibration?

Answer 1

Para la segunda pregunta, considere lo siguiente. Vamos $$B^I \longrightarrow B,$$ $$\alpha \mapsto \alpha(0)$$ ser la ruta de espacio fibration y considerar la posibilidad de que el pullback \begin{matrix} p^\ast B^I & \longrightarrow & E \\ \downarrow & & \downarrow \\ B^I & \longrightarrow & B \end{de la matriz} Escribir $P_p = p^\ast B^I$; llamamos a $P_p$ la asignación de ruta de espacio de $p: E \longrightarrow B$. Tenemos la asignación de ruta fibration $$q: P_p \longrightarrow B,$$ $$(e, \alpha) \mapsto \alpha(1).$$

Teorema. $q: P_p \longrightarrow B$ es un Serre fibration y existe una homotopy equivalencia $g: P_p \longrightarrow E$ tal que $q = p \circ g$. De hecho, desde el $p$ es un fibration, $g$ es una fibra homotopy de equivalencia.

El mapa de $g: P_p \longrightarrow E$ por encima de la realidad es sólo la proyección sobre el primer factor: $$P_p \longrightarrow E,$$ $$(e, \alpha) \mapsto e.$$ Ver la demostración del Teorema 6.18 de Davis y Kirk Notas de la Conferencia en Topología Algebraica (disponible aquí) para los detalles sobre la razón por $q$ es un Serre fibration.