Dominio racional de la función continua.

Question

Es la función definida por

$$ \begin{align} \mathbb{Q} &\rightarrow \mathbb{R}\\ q &\mapsto \frac{1}{q-e} \end {align} $$

Una función continua?

Answer 1

Vamos$\;(a,b)\subset\Bbb R\;$, y asumimos por simplicidad$\;0<a<b\;$, con los otros casos siendo similares. Denote por$\;f\;$ su función (asumiendo$x=q\;$ en su pregunta):$${}$ $

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$$ = \begin{cases}\left\{\,q\in\Bbb Q\;;\;\;q<\frac1a+e\;,\;\;\frac1b+e<q\in (a,b)\,\right\}=\left(\frac1b+e,\,\frac1a+e\right)\cap\Bbb Q,&q\ge e\\{}\\ \left\{\,q\in\Bbb Q\;;\;\;q>\frac1a+e\;,\;\;\frac1b+e>q\in (a,b)\,\right\}=\left(\frac1a+e,\,\frac1b+e\right)\cap\Bbb Q,&q< e\end {casos}$$f^{-1}(a,b)=\left\{\,q\in\Bbb Q\;;\;\;\frac1{q-e}\in (a,b)\,\right\}=\left\{\,q\in\Bbb Q\;;\;\;a<\frac1{q-e}<b\,\right\}=$$$$ $

Y en ambos casos el conjunto está abierto en la topología relativa de$$$ en${}$, por lo que la función es continua (suponiendo la topología Euclidiana usual en$\;\Bbb Q\;$).

Answer 2

Si por supuesto. Incluso es continua como una función de R {e} (que es R sin e) a R.

Answer 3

También puede argumentar por continuidad secuencial: Si$q\in\mathbb Q$ then$q\neq e$. Entonces$q_n\to q$, entonces porque la función$f(x)=\frac{1}{x-e},\,f:\mathbb R\to\mathbb R$ es continua en cada$x\neq e$, entonces usted tiene que$f(q_n)\to f(q)$ y así$f$ continúa en cada$q\in\mathbb Q$.

Answer 4

Tenga en cuenta que si una función $g:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{R}$, de tal manera que $g(x)=x-e$ es continuo desde $x\neq e$ todos los $x\in\mathbb{Q}$, ya que para cualquier $\epsilon'>0$, $|g(x)-g(y)|=|x-y|<\delta:=\epsilon'$ siempre que $|x-y|<\delta$.

Ahora vamos a $f(x)=\frac{1}{g(x)}$, y deje $\epsilon>0$ ser dado. Deje $y\in\mathbb{Q}$. Como $g(y)\neq 0$, elija $\epsilon'=\frac{\frac{\epsilon}{2}(g(y))^2}{1+\frac{\epsilon}{2}|g(y)|}$, de modo que $|g(y)|-\epsilon'>0$.

Ahora considere el siguiente para todos los $x\in(y-\delta,y+\delta)$ \begin{equation} |f(x)-f(y)|=|\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{g(y)}|=\frac{|g(x)-g(y)|}{|g(x)||g(y)|}, \end{equation} lo que da \begin{equation} \begin{split} |f(x)-f(y)|&=\frac{|g(x)-g(y)|}{|g(y)|}|\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{g(y)}+\frac{1}{g(y)}|,\\ &\leq \frac{\epsilon'}{|g(y)|}(|f(x)-f(y)|+\frac{1}{|g(y)|})\\ \end{split} \end{equation} lo que da \begin{equation} (1-\epsilon'/|g(y)|)|f(x)-f(y)|\leq\frac{\epsilon'}{|g(y)|^2}, \end{equation} o \begin{equation} |f(x)-f(y)|\leq\frac{\epsilon'}{|g(y)|^2(1-\epsilon'/|g(y)|)}=\frac{\epsilon}{2}<\epsilon, \end{equation} lo que demuestra la continuidad de la $f$$y$.

Nota: Los pasos anteriores esencialmente demostrar que para cualquier real con valores de función continua $f$ en un subconjunto $A$$\mathbb{R}^k$, de tal manera que $f(x)\neq 0$, la función de $g(x)=\frac{1}{f(x)}$ es también continua.