Probar una desigualdad de $\pi$: $\left(1+\frac1\pi\right)^{\pi+1}<\pi$

Question

Prueba $$\left(1+\frac{1}{\pi}\right)^{\pi+1}<\pi$ $ sin usar calculadora

He tratado de mostrar que el derivado de $f(x)=x-\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+1}$ es mayor que cero, $x=\pi$, pero es demasiado duro para mí.

Answer 1

$$g(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+1}$$ is a decreasing function over $\mathbb{R}^+$ en virtud de la desigualdad de Bernoulli.

Desde $\frac{22}{7}>\pi$ (la aproximación de Arquímedes), es suficiente mostrar que $g(22/7)<\pi$.

Desde $\left(1+\frac{7}{22}\right)^{29} < 3015$, es suficiente mostrar que $\pi^7>3015$. Esto sigue de $\pi>3.141$.