Me preguntó algo relacionado con esto y esto era una cuestión secundaria, después de algunas respuestas. Así que prefiero preguntar esto en un nuevo post debido a que esta pregunta es muy amplia. Lo siento por preguntar esto por las cosas simples. )=
Si tengo una ODA, digamos de segundo orden, y tiene la forma $$ \frac{d^2 y}{dx^2} = f \Big( {\frac{dy}{dx},y,x} \Big), $$ donde claramente $y$ es una función que depende de la $x$.
Hay dos tipos importantes de cambio de variable. La segunda queja de mí, pero me pongo) también en caso de que alguien se señala un error. De hecho, si alguien sabe si esto puede ser writted en un opcional de ocultar, pero no sé cómo hacerlo.
i) Si yo uso un cambio de la forma $s=g(x)$, entonces tengo que calcular $\frac{d^2 y}{dx^2}, \frac{dy}{dx}$ con la nueva variable. Yo sé cómo hacerlo. $$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{ds}\frac{ds}{dx}. $$ Luego para el segundo, tenemos $$ \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \Big( \frac{dy}{dx} \Big) = \frac{d}{dx} \left( \frac{dy}{ds} \frac{ds}{dx} \right) = \frac{ds}{dx} \cdot \frac{d}{dx} \Big( \frac{dy}{ds} \Big) + \frac{dy}{ds} \cdot \frac{d}{dx} \Big( \frac{ds}{dx} \Big) .$$ Para el primer término tenemos $$ \frac{ds}{dx} \cdot \left( \frac{d}{dx} \Big( \frac{dy}{ds} \Big) \right) = \frac{ds}{dx} \cdot \left( \frac{d}{ds} \Big( \frac{dy}{ds} \Big) \cdot \frac{ds}{dx} \right) = \frac{d^2 y}{ds^2} \Big( \frac{ds}{dx} \Big)^2 , $$ y la segunda es obviamente igual a $$ \frac{dy}{ds} \cdot \frac{d^2}{dx^2}. $$ Así que tenemos que $$ \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d^2 y}{ds^2} \Big( \frac{ds}{dx} \Big)^2 + \frac{dy}{ds} \cdot \frac{d^2}{dx^2} $$
ii) este es mi problema, un cambio de variable de la forma $s= g(y)$. Aquí la técnica es diferente porque, en el otro empiezo con $\frac{dy}{dx}$ y cambiado con la regla de la cadena, pero aquí es diferente, porque en una forma de compensación en forma indirecta. Me empiezan a diferenciarse de la igualdad con respecto a $x$, he $$ \begin{align*} s &= g(y) \\ \frac{ds}{dx} &= \frac{dg}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} \end{align*}$$ Pero para la segunda, ¿qué puedo hacer?
