Edición 3: Sí, tiene razón. Para una excelente explicación, véase la entrada de Wikipedia sobre Ley del coseno de Lambert . Puede ignorar el resto de esta respuesta. NB: ¡Gracias por la pregunta!
Edición 1: Parece que en esta respuesta he razonado que estamos buscando luminancia (aunque no estaba familiarizado con la terminología en ese momento), y habiendo consultado ahora la Wikipedia, sigo pensando que es correcto. Supongo que lo que he "derivado" a continuación se acerca bastante o se reduce exactamente al uso de su definición . La respuesta de Olin parece referirse a luminosidad y como no "derivé" eso, creo que la luminosidad está "mal" para esta situación. :)
Edición 2: Además, di por sentado tu "una reflexión difusa dispersa la luz por igual en todas las direcciones" y refiriéndose a los puntos Aunque parecía un poco raro. Pero al navegar por la Wikipedia, me encontré con Ley del coseno de Lambert lo que indica que podría tener que leerlo de otra manera. Corregir para un Lambertian superficie, me temo que Olin podría haber tenido razón todo el tiempo. (Y la pregunta se vuelve entonces casi tautológica, porque los cosenos se cancelan por definición, y por eso su respuesta es tan corta).
![enter image description here]()
Voy a hacer un intento a medias con esto. Es un poco lioso, y recomiendo no confiar en él. También muestra cómo se puede hacer un lío de algo que tal vez es tan fácil como Olin lo hace parecer. Tal vez esto es incluso simplemente erróneo...
La longitud del primer tramo desde $(1,10,1)$ a $(x,0,z)$ es igual a $$d_1=\sqrt{(1-x)^2+10^2+(1-z)^2}.$$
La intensidad de la luz entrante en $(x,0,y)$ es proporcional a $$\frac{1}{d_1^2}=\frac{1}{(1-x)^2+10^2+(1-z)^2}.$$ Observe o simplemente asuma* que los puntos cercanos $(x\pm\delta,0,z\pm\varepsilon)$ tienen prácticamente la misma intensidad de luz entrante.
La longitud del segundo tramo de $(x,0,z)$ a $(4,6,4)$ es igual a $$d_2=\sqrt{(4-x)^2+6^2+(4-z)^2}.$$
La intensidad de la luz recibida de este punto exacto es proporcional a $$\frac{1}{d_1^2}\frac{1}{(4-x)^2+6^2+(4-z)^2}=\frac{1}{(1-x)^2+10^2+(1-z)^2}\frac{1}{(4-x)^2+6^2+(4-z)^2}.$$ (Creo que estoy asumiendo algo aquí, pero no estoy seguro de qué).
Pero tenga en cuenta que como $d_2$ aumenta, el punto ( $x,0,z$ ) se vuelve "más pequeño". Se podría interpretar como que hay que "incluir más puntos" $(x\pm\delta,0,y\pm\varepsilon)$ en las inmediaciones (barrio). Pero: ¿Cuántos puntos más?
Sugiero que eso depende de los ángulos $\varphi\pm \gamma$ entre la línea de $(4,6,4)$ a $(x\pm\delta,0,z\pm\varepsilon)$ y el $xz$ -plano (con $\delta$ y $\varepsilon$ posiblemente dependiente, porque representan un "cono de visión").
Por lo tanto, la cantidad de puntos a incluir es proporcional a la zona que consiste en todas las intersecciones de todas las líneas de $(4,6,4)$ a algunos $(x\pm\delta,0,z\pm\varepsilon)$ y el $xz$ -plano con ángulos $\varphi\pm\gamma$ . Llamemos a esto $A(x,0,z;\gamma)$ porque soy muy malo en trigonometría.
Así, la intensidad final que se percibe es proporcional a $$A(x,0,z;\gamma)\frac{1}{(1-x)^2+10^2+(1-z)^2}\frac{1}{(4-x)^2+6^2+(4-z)^2}.$$
Maximizar que con respecto a $(x,0,z)$ . Esto debería darle una respuesta en términos de $\gamma$ .
Tome una decisión realista $\gamma$ o tomar el límite $\gamma\downarrow0$ . (Tomar el límite probablemente justificará la suposición anterior*).
