"Paradoja" de un proceso de Poisson en $\mathbb R$

Question

Esta pregunta se refiere al comportamiento aparentemente peculiar en torno a cero del proceso de Poisson definido sobre el todo línea real $\mathbb R$ .

Un proceso de Poisson $N(A)$ con medida media $\mu$ en un espacio de medidas topológico general $(\Omega, \mathcal B, \mathbb P)$ se define de forma que para todo $A \in \mathcal B$ Satisfaciendo a $\mu(A) < \infty$ , $$\mathbb P(N(A) = n) = e^{-\mu(A)} \frac{(\mu(A))^n}{n!}$$ y para la disyuntiva $A_1,\ldots,A_k$ El $N(A_i)$ son mutuamente independientes.

Si $\Omega = [0,\infty)$ y $\mu$ es proporcional a la medida de Lebesgue, entonces podemos construir el proceso $N$ a través de una secuencia $\{T_i\}$ de iid $\mathrm{Exp}(\lambda)$ variables aleatorias con $X_n = T_1 + \cdots + T_n$ y $N(t) = \#\{n: X_n \leq t\}$ .

Si $\Omega = (-\infty,\infty)$ Una simple modificación de la construcción anterior funciona. Tomamos un segundo iid $\mathrm{Exp}(\lambda)$ secuencia $\{U_i\}$ independiente de los puntos primero y lugar en $X_{-n} = -(U_1 + \cdots + U_n)$ . Parece fácil ver que esto satisface la definición general de un proceso de Poisson. Sólo tenemos que preocuparnos si $A$ contiene puntos a ambos lados del cero. Por lo tanto, si $A$ es cualquier conjunto de Borel en $\mathbb R$ lo descomponemos como $A = (A \cap (-\infty,0)) \cup (A \cap [0,\infty))$ y luego utilizar el hecho de que la construcción en cada media línea era independiente de la otra y que las sumas de Poissons independientes son Poisson.

" Paradoja ": Cada el tiempo de llegada es $\mathrm{Exp}(\lambda)$ independientemente unos de otros excepto para el tiempo de interllegada que está a caballo entre cero, es decir $X_1 - X_{-1}$ que sigue siendo independiente de todos los demás tiempos de llegada, pero es $\Gamma(2,\lambda)$ ya que es la suma de dos independientes $\mathrm{Exp}(\lambda)$ variables aleatorias.

¿Cómo se explica este peculiar comportamiento del proceso en torno a cero?

(Me doy cuenta de que esto no es una paradoja propiamente dicha, lo que explica las comillas).

Answer 1

Creo que esto es esencialmente una instancia del paradoja de la inspección . Esta es la razón por la que, si se elige un estudiante al azar y se observa el tamaño medio de las clases en las que está, éste será por término medio mayor que el tamaño medio de todas las clases.

En un proceso de Poisson unidimensional ordinario, en el que el tiempo esperado entre un suceso y el siguiente es $\lambda$ Si se selecciona una hora en particular y se pregunta cuál es el tiempo esperado desde la última ocurrencia antes de esa hora hasta la siguiente ocurrencia después de esa hora, será exactamente el doble del tiempo medio entre ocurrencias. En otras palabras, si los autobuses llegan a las paradas a horas aleatorias con un tiempo medio entre autobuses de unos 10 minutos, y usted llegar a la parada de autobús a una hora aleatoria para esperar un autobús, entonces es más probable que llegue a una hora en la que el tiempo transcurrido desde el último autobús anterior hasta el siguiente sea superior a la media, que llegar entre dos autobuses cuyos tiempos de llegada difieren en sólo 30 segundos. (Esto no es tan irreal como la descripción de la ruta de autobús 16A entre el centro de Minneapolis y el centro de St. Paul durante ciertas horas, que están a unas 11 millas de distancia entre sí).