¿Es la compacidad de los espacios secuenciales separados de Hausdorff secuencialmente determinados por el espacio ordenado$\omega_1$?

Question

El espacio de $X$ es secuencial si para cada nonclosed $A \subset X$, existe una secuencia convergente $a_n \rightarrow x$, de modo que $a_n \in A$ pero $x \notin A$. Por $\omega_1$ nos referimos a un innumerable conjunto bien ordenado (con el fin de topología), de modo que cada subconjunto acotado es contable. Secuencialmente compacto significa que cada secuencia en $X$ tiene un convergentes larga.

Supongamos $X$ es secuencial, es secuencialmente compacto y Hausdorff (o débilmente Hausdorff). Si $X$ no es compacto, debe $X$ contienen un subespacio homeomórficos a $\omega_1$?

(Lo contrario es cierto. Si $X$ es compacto, a continuación, $\omega_1$ no se puede incrustar en $X$.)

---

Editar:

Hay un estudiado espacio de Ostaszewski que es plausible? obviamente? obviamente, no? un contraejemplo:

A. J. Ostaszewski, "En countably compacto, perfectamente normal espacios," Revista de la Sociedad Matemática de Londres, volumen 14, (1976), pp 505-516

Es evidente que el intento de emplear la compacidad secuencial en un esfuerzo por caracterizar la propiedad de compacidad secuencial espacios nos puede llevar fuera de ZFC.

[Vaughan(1984)] J. E. Vaughan, "Countably compacto y sequ entially espacios compactos," inHand-libro de Conjunto de la teoría de la Topología (editado por K. Kunen y J. E. Vaughan), pp 569-602

Corolario 6.12 de Anthony Goreham del arxived de papel http://arxiv.org/pdf/math/0412558v1.pdf, afirma: La declaración de 'Compacidad y compacidad secuencial son equivalente perfectamente regular secuencial espacios' es independiente de ZFC.

Answer 1

No. Como se sugiere en los comentarios, en el ejemplo de Ostaszewski, X es secuencial y secuencialmente compacto, y cada conjunto abierto es contable o co-contables. No hay tal espacio puede contener $w_{1}$ con el fin de topología, ya que $w_{1}$ contiene innumerables subespacio cerrado con innumerables complemento.

Por otro lado, cada 1 de primera contables espacio es Frechet-Urysohn y, en particular, secuencial. Como se observa en el siguiente trabajo abstracto, no existe un modelo de ZFC + CH tales que 1 de cada contables secuencialmente compacto espacio es compacto o contiene una copia de $w_{1}$ con el fin de topología.

T. Eisworth y P. Nyikos, Primero contables, countably espacios compactos y de la Hipótesis continua, Trans. Amer. De matemáticas. Soc. 357 (2005), 4329-4347.