Voy a suprimir la suma de diferentes químicos potenciales para la simplicidad, ya que no afectan materialmente el argumento. Si escribimos $U$ como una función de la $S,V,N$, la extensividad de $U$ es definida matemáticamente como sigue
$$
U(\lambda S, \lambda V, \lambda N) = \lambda U(S, V, N)
$$
Físicamente, esto es decir que si la escala de las cantidades que caracterizan su sistema físico por una cierta cantidad, entonces la energía de las escalas por la misma cantidad. La matemática de la terminología de esto es que $U$ es una función homogénea de grado $1$ en $S$, $V$, y $N$. Ahora, hay un teorema sobre funciones homogéneas llamado de Euler homogénea teorema de la función que (hasta un técnico de la asunción o dos) establece que una función $f:\mathbb R^n \to\mathbb R$ es homogénea de grado $k>0$, es decir,
$$
f(\lambda x) = \lambda^kf(x)
$$
si y sólo si
$$
k f(x)=x\cdot \nabla f(x)
$$
Ya que la energía es una función homogénea de grado 1, este teorema nos dice que
\begin{align}
U(S,V,N)
&= (S,V,N)\cdot \nabla U(S,V,N) \\
&= S\left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N} + V\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,N} + N\left(\frac{\partial U}{\partial N}\right)_{S,V}
\end{align}
Por otro lado, los fundamentales de la termodinámica relación que escribió (como la primera ecuación) anterior nos permite identificar
\begin{align}
\left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N} &= T\\
\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,N} &= -P\\
\left(\frac{\partial U}{\partial N}\right)_{S,V} &= \mu
\end{align}
de manera que obtenemos el resultado deseado:
$$
U(S,V, N) = TS - PV + \mu N
$$
