Espero haber entendido esto correctamente: una serie de Fourier tiene coeficientes de orden $O(n^{d+1})$ para una función $d$ veces diferenciable. ¿Pero qué pasa si la función es infinitamente diferenciable? ¿Los coeficientes tienden a tener orden 0? ¿Es decir, la serie es finita? ¿Estoy en lo correcto? ¡Gracias de antemano!
El resultado
Una función periódica que tiene coeficientes de Fourier de orden $O\left(1/n^{d+1}\right)$ es $d$ veces diferenciable.
se convierte en función infinitamente diferenciable
Una función periódica que tiene coeficientes de Fourier de orden $O\left(1/n^{d+1}\right)$ para todo entero $d$ es infinitamente diferenciable.
Y el recíproco es cierto: si $\displaystyle f(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_ne^{inx}$ con $c_n=O\left(1/n^{d+1}\right)$ entonces para todo $d$ la serie $\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(in)^de^{inx}$ es convergente, y por lo tanto podemos derivar bajo la suma. Ten en cuenta que los coeficientes $c_n$ pueden ser diferentes de $0$, por ejemplo tomando $c_n=e^{-n^2}$ o $a^{-n^2}$ donde $|a|\gt 1$.
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