¿Converge$\sum_{n=1}^\infty\sin(n)\sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)$?

Question

Me debe determinar si la siguiente serie converge, converge absolutamente, o diverge: $$\sum_{n=1}^\infty\sin(n)\sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)$$ By the comparison test, I have already found that $\sum_{n=1}^\infty \left(\sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)\right)^p$ converges for $p>1$ and diverges for $p \leq 1$. Thus, $ \sum_{n=1}^\infty\sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)$ diverge por este criterio. Sospecho que toda la serie también divergen, y que tengo que usar la prueba de comparación, pero me encontré con un problema:

Desde $-1 \leq \sin n \leq 1$,$\sin(n)\sin\left(\frac{\pi}{2n}\right) \leq \sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)$. Esto sería útil si la serie representada por el término de la derecha convergente; en su estado actual, este no puede ser usado para demostrar la divergencia.

Es mi razonamiento equivocado? Debo utilizar otra prueba para esta serie? Gracias.

Answer 1

Dado que las sumas parciales de$\sum_{n}\sin(n)$ están limitadas y$\sin(\frac{\pi}{2n})$ es una secuencia decreciente que va a$0$, la prueba de Dirichlet demuestra la convergencia de su serie.

Para obtener un límite en las sumas parciales de$\sum_{n}\sin(n)$, tenga en cuenta que$\displaystyle \left|\sum_{k=0}^n \sin(k)\right|=\left|\Im\sum_{k=0}^ne^{ik}\right|\leq\left|\frac{1-e^{i(n+1)}}{1-e^i}\right|\leq \frac{2}{|1-e^i|}$