Dado un polinomio encuentra el valor mínimo de la variable.

Question

Si $x^5 - x^3 + x = a. $ Entonces tenemos que encontrar el valor mínimo de $x^6$ en términos de a. La respuesta dada es $2a - 1$ si eso da alguna idea.

No tengo ni idea de cómo abordar este problema. Una pista estaría bien.

Answer 1

Reinterpreto el problema de forma un poco diferente (basándome en la respuesta propuesta) para mostrar que $$\tag1x^5-x^3+x=a\implies x^6\ge 2a-1. $$ Tenga en cuenta que $(1)$ es trivialmente cierto para $a\le \frac12$ . Por lo tanto, podemos suponer que $a$ es positivo. Tenemos $$(x^2+1)a=(x^2+1)(x^5-x^3+x)=x^7+x $$ para que $x$ debe ser positivo. Dividir por $x$ y restar $1$ para llegar a $$x^6=\frac{(x^2+1)a}{x}-1\ge\frac{2xa}{x}-1=2a-1, $$ donde utilizamos $x>0$ y $x^2+1\ge 2x$ (de $x^2+1-2x=(x-1)^2\ge 0$ ).

Answer 2

Una pista:

Minimizar $x^6$ es lo mismo que encontrar cuando $|x|$ es un mínimo. Por lo tanto, buscamos la raíz real con menor valor absoluto, de $x^5-x^3+x = a$ .

Ahora $x^5-x^3+x $ es estrictamente creciente, por lo que para cualquier valor de $a$ sólo hay una raíz real (digamos $\alpha$ ) para el polinomio, y por lo tanto el mínimo es simplemente $\alpha^6$ .

Algunos casos son fáciles: $\alpha = a $ cuando $a \in \{0, \pm1\}$ para, por ejemplo, encontrar $\alpha$ como una simple función de $a$ sin embargo, no parece factible en general.