¿Cómo encontrar un número entero matriz $P$ tal que $PAP^{-1}=B$ para dos matrices de enteros similares, $A$ y $B$?

Question

Un entero de la matriz es una matriz cuyos coeficientes son números enteros.

Supongamos que dos invertible, entero $3\times 3$ matrices $A$ $B$ son similares el uno al otro, es decir, existe una invertible, entero matriz $P$ tal que $PAP^{-1}=B$.

Suponiendo que sabemos que este tipo de matriz $P$ existe, ¿cómo podemos concretamente encontrar $P$?

Me gustaría saber cómo encontrar a $P$ para el caso de que $A=\begin{bmatrix}0&25&37\\ 0&2&3\\1&0&38\end{bmatrix}$$B=\begin{bmatrix}0&23&297\\ 0&12&155\\1&0&28\end{bmatrix}$.

(Uno puede comprobar que $A$ $B$ son similares mediante el uso de un teorema de Latimer y MacDufee.)

Answer 1

Tenga en cuenta que $\chi_A(x)=\chi_B(x)=p(x)=x^3-40x^2+39x-1$ es irreductible, y ha $3$ distintas raíces $(\lambda_i)$. Aquí $PA=BP$$\det(P)=1$; a continuación, $P$ envía cualquier vector propio de a $B$ asociado a $\lambda_i$ a un autovector de a $A$ asociado a la misma $\lambda_i$; por otra parte, los vectores propios son definidos hasta un multiplicativo constante. El conjunto $\{R;RA=BR\}$ es un espacio vectorial de dimensión $3$. A continuación, una igualdad de la forma $Ru=v$ donde $u,v$ se dan los vectores, definir, en general, un único $R$.

Un autovector de a $A$ (resp. de $B$) asociada a $\lambda_i$ $U_i=[1+37\lambda_i,3\lambda_i,-2\lambda_i+\lambda_i^2]^T$ (resp. $W_i=[1+297\lambda_i,155\lambda_i,-12\lambda_i+\lambda_i^2]^T$) y $P(U_i)=a_iW_i$ donde $a_i\in\mathbb{C}$. Es fácil ver que $U=\sum_iU_i=[1483,120,1442]^T$ $P(U)=\sum_ia_iW_i$ es un número entero vector.

Por lo tanto (*) $\sum_ia_i,\sum_ia_i\lambda_i,\sum_ia_i\lambda_i^2$ son números racionales y el$(a_i)$$F$, la descomposición, el campo de $p$. Por otro lado, $\dfrac{\det(U_1,U_2,U_3)}{\det(W_1,W_2,W_3)}=3/155$ implica que el $a_1a_2a_3=3/155$.

En consecuencia, el $(a_i)$ son las raíces de un polinomio $q(y)$ que es la imagen de $p$ por una transformación de $y=u+vx+wx^2$ donde $u,v,w$ son números racionales. Tenga en cuenta que $q$ debe ser en la forma $q(y)=y^3+\cdots-3/155$. Buscamos soluciones $(u,v,w)$ en la forma $n/155$ donde $n\in\mathbb{Z}$ y obtenemos $3$ candidatos: $(-13/155,28/155,-1/155),(-1/155,26/155,-12/155),(12/155,-2/155,-11/155)$ (tal vez hay otras soluciones). Queda por ver que las soluciones de $P$ son (o no son) integer-matrices.

Caso 1. Obtenemos $P(U)=[-33012,-17227,-3004]^T$ $P$ es la matriz obtenida por Axel Kemper (con la pequeña radio). $P$ es un número entero de la matriz y es conveniente.

Caso 2. Obtenemos $P(U)=[-1288409,-672344,-117124]^T$, $P=\begin{pmatrix}-23&2&-870\\-12&1&-454\\-2&-2&-79\end{pmatrix}$ y $P$ es conveniente.

Caso 3. Obtenemos $P(U)=[-1255397,-655117,-11412]^T$; sin embargo, $P$ no es un número entero de la matriz y no es conveniente

EDIT. Responder a @user7540.

Desde $galois(p)=S_3$, no existen relaciones algebraicas con coeficientes en $\mathbb{Q}$ vinculación de la $(a_i)$ y hay un ciclo de $\sigma\in Galois(p)$ s.t. $\sigma(\lambda_i)=\lambda_{i+1}$. De acuerdo a (*) anterior, $a_i\in F$, la descomposición, el campo de $p$ e (inversa de la matriz de Vandermonde) $a_1=u+v\lambda_1+w\lambda_i^2,a_2=\sigma(a_1),a_3=\sigma(a_2)$ donde $u,v,w$ son números racionales. Finalmente, el $(a_i)$ son las raíces de un polinomio que es la imagen de $p$ por la transformación de la $x\rightarrow u+vx+wx^2$.

Answer 2

A lo largo de las líneas de este post relacionados:

Transformar la ecuación

$$PAP^{-1}=B$$

to

$$PA = BP$$

by multiplying both sides of the equation with matrix $P$.

Then, you find the solution via a calculation of Eigenvectors.

---

Alternative:

Ask the MiniZinc constraint solver:

int: n = 3;

array[1..n, 1..n] of int: A = [| 0, 25,  37
                               | 0,  2,   3
                               | 1,  0,  38 |];
array[1..n, 1..n] of int: B = [| 0, 23, 297
                               | 0, 12, 155
                               | 1,  0,  28|];
array[1..n, 1..n] of var -20000 .. 20000: P;

constraint forall(i in 1..n, j in 1..n)(
    sum(k in 1..n)(P[i,k]*A[k,j]) == sum(k in 1..n)(B[i,k]*P[k,j])
);

solve satisfy;

output [if j == 1 then "\n" else "" endif ++ show(P[i, j]) ++ " " | i in 1..n, j in 1..n];

Result is

$$P=\begin{bmatrix}19995&-17948&-19979\\ 8093&19876&-10454\\ -694&23&563\end{bmatrix}$$

By decreasing the search radius, I arrived at

$$P=\begin{bmatrix}-2&26&-23\\ -1&13&-12\\ 0&-1&-2\end{bmatrix}$$

Answer 3

Se puede solo escribir $P=\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\a_{4}&a_{5}&a_{6}\\a_{7}&a_{8}&a_{9} \end{bmatrix}$ and then you have $PA=BP$, so you can solve the system of equations $$\begin{bmatrix}a_{3}&25a_{1}+2a_{2}&37a_{1}+3a_{2}+38a_{3}\\a_{6}&25a_{4}+2a_{5}&37a_{4}+3a_{5}+38a_{6}\\a_{9}&25a_{7}+2a_{8}&37a_{7}+3a_{8}+38a_{9} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}23a_{4}+297a_{7}&23a_{5}+297a_{8}&23a_{6}+297a_{9}\\12a_{4}+155a_{7}&12a_{5}+155a_{8}&12a_{6}+155a_{9}\\a_{1}+28a_{7}&a_{2}+28a_{8}&a_{3}+28a_{9} \end{bmatrix}$$ que nos llevan al sistema\begin{align*} a_{3}-23a_{4}-297a_{7}&=0\\ a_{6}-12a_{4}-155a_{7}&=0\\ a_{9}-a_{1}-28a_{7}&=0\\ 25a_{1}+2a_{2}-23a_{5}-297a_{8}&=0\\ 25a_{4}-10a_{5}-155a_{8}&=0\\ 25a_{7}-a_{2}-26a_{8}&=0\\ 37a_{1}+3a_{2}+38a_{3}-23a_{6}-297a_{9}&=0\\ 37a_{4}+3a_{5}+26a_{6}-155a_{9}&=0\\ 37a_{7}+3a_{8}+10a_{9}-a_{3}&=0 \end{align*} que es igual a $$\begin{bmatrix} 0&0&1&-23&0&0&-297&0&0\\ 0&0&0&-12&0&1&-155&0&0\\ -1&0&0&0&0&0&-28&0&1\\ 25&2&0&0&-23&0&0&-297&0\\ 0&0&0&25&-10&0&0&-155&0\\ 0&-1&0&0&0&0&25&-26&0\\ 37&3&38&0&0&-23&0&0&-297\\ 0&0&0&37&3&26&0&0&-155\\ 0&0&-1&0&0&0&37&3&10 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\\a_{5}\\a_{6}\\a_{7}\\a_{8}\\a_{9}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\end{bmatrix}$$ que es feo pero puede resolverse por giro

Answer 4

Probablemente vale la pena señalar que Latimer-Macduffee dice que hay 16 similitud clases de matrices con polinomio característico $x^3 - 40 x^2 + 39 x - 1,$

---

? K = bnfinit(x^3 - 40*x^2 + 39*x - 1);
? K.disc
%2 = 1968377
? factor(K.disc)
%3 = 
[431 1]

[4567 1]

? K.clgp
%4 = [16, [16], [[35, 11, 20; 0, 1, 0; 0, 0, 1]]]
? 

---

lo que significa que las dos matrices no eran realmente garantizados para ser similar sobre los números enteros, al menos, no por la información que se muestra en el original de la pregunta anterior. Consulte las páginas 49-55 en Newman libro, especialmente Teorema III.14 en la página 53. A Partir De Keith Conrad

En particular, sus matrices $A,B$ parecen no ser similar sobre los enteros a

$$ C = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 39 \end{array} \right) $$

---

? c = [ 0,1,0; 0,1,1; 1,0,39]
%1 = 
[0 1 0]

[0 1 1]

[1 0 39]

? charpoly(c)
%2 = x^3 - 40*x^2 + 39*x - 1
? 

---

Después de Axel publicado su artículo me decidí a tratar de programa de la cosa; más lento, por ahora...

===================================================================

 Determinant       0  :      0    0    0    0    0    0    0    0    0
 Determinant      -1  :      2  -26   23    1  -13   12    0    1    2
 Determinant       1  :     -2   26  -23   -1   13  -12    0   -1   -2
 Determinant      -8  :      4  -52   46    2  -26   24    0    2    4
 Determinant       8  :     -4   52  -46   -2   26  -24    0   -2   -4
 Determinant  -10825  :     21   27 -113    8   51  -59   -1   -2   -7
 Determinant   10825  :    -21  -27  113   -8  -51   59    1    2    7
 Determinant   -7969  :     23    1  -90    9   38  -47   -1   -1   -5
 Determinant    7969  :    -23   -1   90   -9  -38   47    1    1    5
 Determinant   -5175  :     25  -25  -67   10   25  -35   -1    0   -3
 Determinant    5175  :    -25   25   67  -10  -25   35    1    0    3
 Determinant   -2449  :     27  -51  -44   11   12  -23   -1    1   -1
 Determinant    2449  :    -27   51   44  -11  -12   23    1   -1    1

===================================================================

int main()
{


  system("date");
  int bound = 35; 


 for(int d = 0; d <= bound; ++d){
 for(int g = -bound; g <= bound; ++g) {

  int c = 23 * d + 297 * g;
  int f = 12 * d + 155 * g;
   for(int a = -bound; a <= bound; ++a){
    int i = a + 28 * g;
    for(int b = -bound; b <= bound; ++b){
    for(int e = -bound; e <= bound; ++e){
   for(int h = -bound; h <= bound; ++h) {
            if( 25 * a + 2 * b == 23 * e + 297 * h  &&  25 * d + 2 * e == 12 * e + 155 * h && 25 * g + 2 * h == b + 28 * h ){
           for(int f = -bound; f <= bound; ++f){
           if( 37 * a + 3 * b + 38 * c == 23 * f + 297 * i &&  37 * d + 3 * e + 38 * f == 12 * f + 155 * i &&  37 * g + 3 * h + 38 * i == c + 28 * i ) {
              int n =  (i*e - h*f)*a + ((-i*d + g*f)*b + (h*d - g*e)*c);
             cout << " Determinant  " << setw(6) << n << "  :  "   << setw(5) << a   << setw(5) << b   << setw(5) << c   << setw(5) << d   << setw(5) << e   << setw(5) << f   << setw(5) << g   << setw(5) << h << setw(5) << i   << endl;
             cout << " Determinant  " << setw(6) << -n << "  :  "   << setw(5) << -a   << setw(5) << -b   << setw(5) << -c   << setw(5) << -d   << setw(5) << -e   << setw(5) << -f   << setw(5) << -g   << setw(5) << -h << setw(5) << -i   << endl;
             } // if 13 23 33
           } // for f

      } // if 12  22 32
    }}}  // b e h
  } // for a

}} // d g


  system("date");

  return 0;
}