Es cuando esta entero un cuadrado perfecto: $n^2 + 20n + 12$

Question

Que $S_n = n^2 + 20n + 12$, donde $n$ un entero positivo. ¿Cuál es la suma de todos los posibles valores de $n$, que $S_n$ es un cuadrado perfecto?

Me ayudan a resolverlo.

Answer 1

Observe que: $$S_n=n^2+20n+12=(n+10)^2-88 \ .$$

Suponga que $S_n$ a ser un cuadrado perfecto, es decir,$S_n=m^2$, entonces tenemos: $(n+10)^2-88=m^2$,

vamos a dfine $N:=(n+10)$.

Esto implica que $(N-m)(N+m)=88$; aviso de que $(N-m)$ $(N+m)$ tienen el mismo pairity, ambos son pares o ambos de ellos son incluso. Tenemos los siguientes casos:

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1. $(N-m)= 1$ $(N+m)=88$ ; lo cual es imposible por los avisos anteriores.

2. $(N-m)= 2$ $(N+m)=44$ ; lo que da la solución $N=23$, $m=21$; $n=13$.

3. $(N-m)= 4$ $(N+m)=22$ ; lo que da la solución $N=13$, $m=9$; $n=3$.

4. $(N-m)= 8$ $(N+m)=11$ ; lo cual es imposible por los avisos anteriores.

5. $(N-m)=11$ $(N+m)= 8$ ; lo cual es imposible por los avisos anteriores.

6. $(N-m)=22$ $(N+m)= 4$ ; lo que da la solución $N=13$, $m=-9$; $n=3$.

7. $(N-m)=44$ $(N+m)= 2$ ; lo que da la solución $N=23$, $m=-21$; $n=13$.

8. $(N-m)=88$ $(N+m)= 1$ ; lo cual es imposible por los avisos anteriores.

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Al principio sin pérdida de generalidad se puede suponer que la $m$ es no negativo, y también tenga en cuenta que $ N = n+10 > 0+10=10.$

Answer 2

Utilizar $$(n+4)^2<n^2+20n+12<(n+10)^2.$ $ tengo $n^2+20n+12=(n+8)^2$, que $n=13$ o

$n^2+20n+12=(n+6)^2$, que $n=3$.

ID est, la respuesta es $16$

porque en casos $n^2+20n+12=(n+5)^2$, $n^2+20n+12=(n+7)^2$ y $n^2+20n+12=(n+9)^2$ no podemos conseguir soluciones.

Answer 3

$ n^{2}+20n+12=k^{2} $ Si y sólo si $ k\epsilon \mathbb{Z}$ entonces proceder con $ (n+10)^{2}-k^{2}=88 $ (he omitido las operaciones) si los factor $(n+10-k).(n+10+k)=88$ si usted empareja con los factores de la $88$ donde ambos $n$ & $k$ son números enteros se hace el problema.