¿De cuántas maneras existen para entrenar a los jugadores?

Question

$210$ jugadores participaron en el curso de verano.De cuántas maneras existen para elegir un entrenador de $20$ instructores para cada jugador, por lo que cada entrenador tiene que entrenar número diferente de personas?

Mi intento:Si los entrenadores tenían que tener al menos un jugador de tren, a continuación, nos gustaría tener al menos $1+2+ \dots +20$ de los jugadores lo que es igual a$210$, por lo que la respuesta sería la $\frac{210!}{20!19! \dots 1!}$, pero el problema es que un entrenador puede tener a los jugadores a entrenar así que vamos a tener al menos $190$ jugadores y tenemos que comprobar en cada caso que es realmente difícil.Cualquier sugerencias?

Esta pregunta es en el capítulo de "combinación" de el libro así que estoy en busca de una prueba utilizando la combinación más que otros.Pero otros son aceptables también.

Answer 1

Denotan por $x_i$ $(1\leq i\leq20)$ el número de participantes que se trainer$_i$ es de tomar cuidado de. Entonces no son números enteros no negativos $y_i$ tal que $$x_1=y_1,\quad x_2=x_1+1+y_2,\quad x_3=x_2+1+y_3,\quad \ldots\ ,$$ así que $$x_k=k-1+\sum_{j=1}^k y_j\qquad(1\leq k\leq20)\ .$$ Ahora queremos $$210=\sum_{k=1}^{20} x_k=190 +\sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^k y_j\ ,$$ la cual puede escribirse como $$\sum_{j=1}^{20}(21-j)y_j=20\ .\tag{1}$$ Vamos $z_l:=y_{21-l}$ $(1\leq l\leq20)$. A continuación, $(1)$ equivale a $$\sum_{l=1}^{20} l\>z_l=20\ .\tag{2}$$ Necesitamos el número de soluciones de $(2)$ en números enteros $z_l\geq0$. Cada vector $(z_1,z_2,\ldots, z_{20})$ satisfacción $(2)$ codifica una partición de $20$, por $z_l$ indica el número de partes de tamaño $l$. De ello se deduce que el número de estos vectores es igual al número de estas particiones, que es $627$, de acuerdo a Abramowitz Y Stegun. Multiplicar esta con $20!$ a asignar a los diferentes instructores para las diferentes cargas de trabajo. Pero aún no hemos tomado el cuidado de 210 personalidades diferentes que tienen que ser entrenados. Esto significaría el establecimiento de un coeficiente multinomial para cada una de las $627$ admisible de la carga de trabajo de los esquemas.