Digamos que tenemos dos puntos de $P_1 = (x_1, y_1)$$P_2 = (x_2, y_2)$, entonces la condición de un punto de ver al otro es equivalente a la condición de que
$$\gcd (x_2-x_1, y_2-y_1) = \pm 1$$
(El $\pm$ proviene del hecho de que una de las diferencias puede ser negativa, pero esto no es esencial)
Permite llamar a esto la "distancia" entre los puntos de $P_1$ $P_2$ y escribirlo como $|P_2 - P_1| = \gcd (x_2-x_1, y_2-y_1)$
Vamos a mostrar una construcción que se produce un bucle de tamaño $n+2$ (para arbitrario $n$, por ejemplo, $n=98$).
En primer lugar vamos a crear $n+1$ puntos de:
$$A_0 = (0, 0); A_1 = (a, b); A_2 = (2a, 2b) \dots A_n = (na, nb)$$
Donde $a$ $b$ son arbitrarias números en los que nos imponen simplemente que $\gcd (a, b) = \pm 1$. Observe que los puntos se encuentran sobre una línea recta.
Esto implica que cada uno de los puntos de $A_1, A_2 \dots A_{n-1}$ ve exactamente a otros dos, mientras que $A_0$ $A_n$ ver exactamente un punto.
(El mcd condición hace de modo que no hay puntos entre el$A_i$$A_{i+1}$, desde entonces
$$|P_{i+1} - P_i|= \gcd (a\cdot(i+1)-a \cdot i, b \cdot (i+1)-b \cdot i) = \gcd (a, b) = \pm 1$$
Y es evidente que los dos puntos que tienen un punto entre ellos no pueden ver el uno al otro de definición, por lo tanto, cualquier punto único en esta línea no puede ver más que los otros dos.)
Ahora todo lo que queda es encontrar las coordenadas de un punto de $B = (c, d)$ tal que $B$ ve $A_0$$A_n$, y no ver a cualquier otro punto. Así que en esencia se reduce a la siguiente sistema:
$$|B-A_0| = \gcd(c-0, d-0) = \gcd(c, d) = \pm 1$$
$$|B-A_i| = \gcd(c-ia, d-ib) \neq \pm 1 $$
$$|B-A_n| = \gcd(c-na, d-nb) = \pm 1$$
donde el medio de la ecuación ha de ser satisfecho por todos los $0<i<n$. Ahora ya tenemos la libertad por encima de lo que es exactamente el $|B-A_i|$ estos $i$ a continuación, vamos a exigir que
$$\gcd(c-ia, d-ib) = d-ib \neq \pm 1$$
En esencia esto significa simplemente que
$$c-ia \equiv 0 \mod d-ib$$
$$c \equiv ia \mod d-ib$$
Esto está empezando a parecerse a el teorema del resto chino ahora, no?
Para $|B-A_0|$ simplemente vamos a pedir que
$$ c \equiv 1 \mod d$$
(no es difícil comprobar que esto significa que $\gcd(c, d) = 1$)
Y para $|B-A_n|$ vamos a exigir que nos
$$ c \equiv na+1 \mod d - nb$$
Así que hemos traducido nuestra $\gcd$ los requisitos de un sistema de congruencias:
$$ c \equiv 1 \mod d$$
$$ c \equiv ia \mod d - ib$$
$$ c \equiv na+1 \mod d - nb$$
El teorema del resto chino garantiza la existencia de un $c$. Sin embargo, primero debemos establecer que todos los del módulo son pares coprime.
Observe que $d, d-b, d-2b \dots d-nb$ forman una progresión aritmética. Ahora, por el bien conocidos de Green-Tao teorema existe una progresión aritmética de $k$ términos que consta sólo de números primos para cualquier $k$. Así que elija $k=n+1$ y tomar la correspondiente $d$ $-b$ a ser el primer miembro de la secuencia y la diferencia, respectivamente. Por lo tanto todos los de $d, d-b, d-2b \dots d-nb$ ahora son los números primos y son, obviamente, coprime el uno al otro.
Obviamente, es posible seleccionar $a$ tal que $\gcd(a,b) = 1$. Y la existencia de $c$ está garantizada por el teorema del resto chino.
Esto completa la prueba.
