¿Existe una forma cerrada para $\int_0^\infty \frac{1-\cos(tx)}{e^t-1}dt$ ?

Question

Cuando $|x|<1$

$$f(x)=\int_0^\infty \frac{1-\cos(tx)}{e^t-1}dt = \sum_{n=1}^\infty \zeta(2n+1)x^{2n}$$

También es la parte imaginaria de la continuación analítica de la serie armónica.

Desde el punto de vista numérico, parece que lo siguiente es cierto:

$$\int_0^{\pi/x}\frac{1-\cos(tx)}{e^t-1}dt\to \zeta(2)$$

$$\int_{\pi/x}^{3\pi/x}\frac{1-\cos(tx)}{e^t-1}dt\to \zeta(3)$$

¿Continúa el patrón? ¿Y existe una forma cerrada para $f$ ?

Answer 1

Para $x>0$ ,

$$ \begin{align}\int_{0}^{\infty} \frac{1- \cos(tx)}{e^{t}-1} \, dt &= \int_{0}^{\infty} \left(1- \cos (tx) \right)\frac{e^{-t}}{1-e^{-t}} \, dt \\ &= \int_{0}^{\infty} \left(1- \cos (tx) \right) \sum_{n=1}^{\infty} e^{-tn} \, dt \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \left(1- \cos (tx) \right) e^{-tn} \, dt \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} - \frac{n}{n^{2}+x^{2}} \right) \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2}}{n(n^{2}+x^{2})}. \end{align}$$

(El cambio de orden de la suma y la integración se justifica por el teorema de Tonelli).

Utilizando el representación en serie de la función digamma vemos que

$$\begin{align} \psi(1+ix) + \psi(1-ix) &= - 2 \gamma + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{ix}{n(n+ix)} + \frac{-ix}{n(n-ix)}\right) \\ &= -2 \gamma +2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2}}{n(n^{2}+x^{2})}. \end{align}$$

Por lo tanto, $$\begin{align}\int_{0}^{\infty} \frac{1-\cos(tx)}{e^{t}-1} \, dt &= \frac{1}{2} \left(\psi(1+ix)+\psi(1-ix) \right)+ \gamma \\ &= \Re \left(\psi(1+ix) \right) + \gamma \tag{1} \\ &= \Re \left(\psi(ix) + \frac{1}{ix}\right) + \gamma \tag{2} \\ &= \Re \left(\psi(ix)\right) + \gamma.\end{align}$$

---

$(1)$ https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarz_reflection_principle

$(2)$ https://en.wikipedia.org/wiki/Digamma_function#Reflection_formula

Answer 2

Tenemos la fórmula:

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\zeta(2k+1)-1}{2k+1}x^{2k+1} = (1-\gamma)x - \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) - \ln\left(\frac{\Gamma(1+x)}{\Gamma(1-x)} \right)$$

Diferenciar ambos lados da $$\sum_{k=1}^{\infty} [\zeta(2k+1)-1]x^{2k} = -\gamma x - \frac{2}{1-x^2} - \psi(1+x)-\psi(1-x)$$

La serie inicial es una consecuencia inmediata de la famosa: $$\ln\Gamma(1-x) = \gamma x + \sum_{k=2}^{\infty} \frac{\zeta(k)}{k}x^k $$