$\cos (\cos x) > \sin (\sin x)$

Question

Mostrar que $\forall x \in \mathbb{R}\ \cos (\cos x) > \sin (\sin x)$

He intentado lo obvio:

$\varphi: x \mapsto \cos(\cos x) - \sin (\sin x)$

$\varphi ' (x) = \sin (\cos x) \sin x - \cos(\sin x) \cos x$

Quisiera mostrar ahora que $\varphi$ es una función positiva para todas las $x \in \mathbb{R}$, y el derivado no parece agradable por lo tanto hay algo con $\varphi '$. No estoy viendo o no es la manera correcta. ¿Cualquier sugerencia o idea?

Answer 1

Sabemos que $|\sin(x)|<|x|$, que supongo es llevado a ser conocido, ya que se distingue $\sin(x)$. Por lo tanto, sigue de esto y de las identidades de Pitágoras que

$$\cos^2(\cos(x))=1-\sin^2(\cos(x))>1-\cos^2(x)=\sin^2(x)$$

$$\sin^2(\sin(x))<\sin^2(x)$$

Por lo tanto, se deduce que

$$\cos^2(\cos(x))>\sin^2(x)>\sin^2(\sin(x))$$

Y desde $\cos(\cos(x))\in[\cos(1),1]\implies\cos(\cos(x))>0$ y $a^2>b^2\implies|a|>|b|\ge b$, se deduce que

$$\cos^2(\cos(x))>\sin^2(\sin(x))\\\implies|\cos(\cos(x))|>|\sin(\sin(x))|\ge\sin(\sin(x))$$

Answer 2

Tenemos que demostrar que $$\cos\cos{x}-\cos\left(\frac{\pi}{2}-\sin{x}\right)>0$ $ o % $ $$2\sin\frac{\frac{\pi}{2}-\sin{x}-\cos{x}}{2}\sin\frac{\frac{\pi}{2}-\sin{x}+\cos{x}}{2}>0,$que es verdad porque por C S $$\sin{x}\pm\cos{x}\leq\sqrt{(1^2+1^2)(\sin^2x+\cos^2x)}=\sqrt2<\frac{\pi}{2},$ $ que da %#% $ #%

Answer 3

$\sin(\sin(x))=\cos(\pi/2-\sin(x))$, escriba $f(x)=\pi/2-\sin(x)-\cos(x)$, $f'(x)=-\cos(x)+\sin(x)$, estudiamos $f$ $[0,\pi/2]$, $f'(x)=0$ implica $x=\pi/4$, $f(\pi/4)>0$ $f(0)>0, f(\pi/2)>0$, implica que el $f$ disminuye de $0$ $\pi/4$ y aumento de $\pi/4$ $\pi/2$ y $f>0$ $[0,\pi/2]$.

Esto implica que el $\pi/2-\sin(x)>\cos(x)$, ya que disminuye la $\cos$ $[0,\pi/2]$ deducimos que $\cos(\cos(x))>\cos(\pi/2-\sin(x))=\sin(\sin(x))$.

Answer 4

Las otras respuestas son grandes, pero solo por diversión, aquí es un heurístico.

Utilizando la aproximación de Taylor, $$ \cos(\cos(x))\approx 1 - \frac{\cos^2(x)}{2} = \frac{\sin^2(x)+1}{2} $ $ $$ \sin(\sin(x))\approx \sin(x) $ $ $$ \therefore \cos(\cos(x))-\sin(\sin(x))\approx \frac{\sin^2(x)-2\sin(x)+1}{2}=\frac{1}{2}(\sin(x)-1)^2 >0$ $