Por el teorema de Sard, la medida del conjunto de valores críticos de una función real continuamente diferenciable definida en la línea verdadera es cero. ¿Existe un contraejemplo cuando omite la condición de continuidad de la derivada (pero aún exige su existencia)? (He leído sobre el derivado de Pompeiu en las respuestas en este sitio, cuya primitiva según entendido ha fijado un $G_\delta$ densa de valores críticos en el intervalo de unidad, pero no encuentro una declaración sobre su medida).
Respuesta
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Brian Duff
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Esto ha sido contestado en math.stackexchange.com en "la ecuación (1)" Es la imagen de un null establecido en virtud de un mapa diferenciable siempre es null? (ignore la pregunta del título)
Aquí es una prueba de uso de diádica intervalos en lugar de la Vitali que cubre lema. Considere la posibilidad de un diferenciable en todas partes mapa de $f:[0,1)\to\mathbb R$. Deje $\epsilon>0$. Tenemos que mostrar que $\mu(f(N))\leq \epsilon$ donde $N$ es el conjunto de puntos de $x$$f'(x)=0$.
Deje $\mathcal{D}$ el conjunto de intervalos de la forma $I=[p/2^q, (p+1)/2^q)$ tal que $\mu(f(I))\leq \epsilon \mu(I)$.
A continuación,$N\subseteq\bigcup_{I\in\mathcal D}I$: si $f'(x)=0$ $x$ está contenida en algún intervalo diádico $I$ tal que para todos los $x'\in I$ hemos $$|f(x')-f(x)|\leq (\epsilon/2) |x'-x|\leq (\epsilon/2)\max_{x'\in I}|x'-x|\leq (\epsilon/2)\mu(I),$$ lo que implica $\mu(f(I))\leq \epsilon \mu(I)$.
Por otro lado, la inclusión del máximo se establece en $\mathcal D$ son una contables conjunto de intervalos disjuntos, por lo que $$ \mu(f(N))\leq \mu(f(\bigcup_{I\in\mathcal D}I))\leq \mu(f(\bigcup_{I\textrm{ máxima en }\mathcal D}I))\leq \epsilon\sum_{I\textrm{ máxima en }\mathcal D}\mu(I)\leq\epsilon$$ como se requiere.
