Que $K$ ser un campo y $X$ an indeterminado.
¿Es el monomorfismo natural $K[X]\hookrightarrow K[[X]]$ un epimorphism?
Por epimorphism entiendo epimorphism en la categoría de anillos comutativos.
Ed. ¿La pregunta puede formularse como sigue: hay diferentes morfismos de $K[[X]]$ para un anillo comutativo $A$ que coinciden en $K[X]$?
Deje $B$ ser una trascendencia base para el campo $K((X))$ $K(X)$ y deje $L$ ser una expresión algebraica cierre de $K((X))$. Tenga en cuenta que cualquier inyección de $B$ a de sí mismo puede ser extendido a un endomorfismo de $L$$K(X)$. Hay muchas de esas inyecciones, ya que $B$ es incontable (ver más abajo para una prueba). La restricción de estos endomorphisms a $K((X))$ da muchos diferentes homomorphisms $K((X))\to L$ que todos están de acuerdo en $K[X]$. La restricción de estos homomorphisms a $K[[X]]$, tenemos muchos diferentes homomorphisms $K[[X]]\to L$ que está de acuerdo en $K[X]$. (Son diferentes desde un homomorphism en $K((X))$ está determinado por su restricción a $K[[X]]$.)
[Hay muchas otras maneras que usted podría marco de esta misma idea; por ejemplo, usted puede ponerlo más como uSir470888 la respuesta. El punto es que es muy fácil de definir homomorphisms en un algebraicamente cerrado de campo. En particular, una vez que usted está buscando en un algebraicamente cerrado de campo usted puede olvidarse de todo lo rigidez $K[[X]]$ podría haber tenido más de $K[X]$ y el mapa trascendental de los elementos de $K[[X]]$ a cualquier algebraicamente independiente de los elementos que desee.]
Aquí es una prueba de que $K((X))$ siempre tiene innumerables trascendencia grado por encima del $K(X)$. En primer lugar, hemos de demostrar un lema:
Lema: Vamos a $k$ ser un campo, vamos a $K$ ser un campo de extensión de $k$, y supongamos $S\subset k((X))$ es algebraicamente independiente sobre $k(X)$. A continuación, $S$ es algebraicamente independiente sobre $K(X)$, como un subconjunto de a $K((X))$.
Prueba: Supongamos que algunos de los elementos $s_1,\dots,s_n \in S$ satisfacer una $h(s_1,\dots,s_n)=0$ donde $h$ es un valor distinto de cero polinomio con coeficientes en $K[X]$. Para cada una de las $m\in\mathbb{Z}$, $X^m$ plazo de $h(s_1,\dots,s_n)$ puede ser escrito como un polinomio en los coeficientes de la $s_i$ (que son algunos de los elementos de $k$) y los coeficientes de los coeficientes de $h$ (cada coeficiente de $h$ es un elemento de $K[X]$, y los coeficientes de los coeficientes de $h$ son elementos de $K$). Por otra parte, estos polinomios son en realidad lineal en los coeficientes de los coeficientes de $h$. Por tanto, decir que $h(s_1,\dots,s_n)=0$ es decir que los coeficientes de los coeficientes de $h$ satisfacer un determinado lista infinita de ecuaciones lineales con coeficientes en $k$. Pero si un sistema de ecuaciones lineales en un número finito de variables con coeficientes en un campo de $k$ tiene un valor distinto de cero de la solución en una extensión de $k$, tiene un valor distinto de cero de la solución en $k$ (esto es, esencialmente, el hecho de que el rango de una matriz no se puede cambiar si se amplía el campo base). Esto significa que podemos cambiar los coeficientes de $h$ por polinomios con coeficientes en $k$ (que no son todos cero) y $h(s_1,\dots,s_n)=0$ va a ser verdad. Esto contradice la suposición de que $S$ es algebraicamente independiente sobre $k(X)$.
Ahora vamos a $K$ ser cualquier campo, y deje $k$ ser cualquier contables subcampo de $K$. Desde $k(X)$ es contable y $k((X))$ es incontable, existe un incontable subconjunto $S\subset k((X))$ que es algebraicamente independiente sobre $k(X)$. Por el Lema, $S$ también es algebraicamente independiente sobre $K(X)$ como un subconjunto de a $K((X))$.
[Sigue la comprobación de si $g_1$ $g_2$ están bien definidos. Déjeme saber si usted encuentra algo que no. He cambiado el destino del anillo y uno más grande porque necesitaba espacio para los valores algebraicos de los elementos una vez que la fuerza de una definición en un trascendental.]
Deje $R$ ser el anillo de poder de la serie en $X$ que son algebraicos sobre el anillo de fracciones de más de $K$. Esto es $R$ se compone de todo el poder de la serie de $h$ tal que existe un polinomio $p(Y)=a_0+a_1Y+...+a_nY^n$ $a_i$ funciones racionales sobre $K$ con denominadores que no se desvanecen en $X=0$, de tal manera que $p(h)=0$.
Necesitamos construir dos diferentes homomorphisms $g_1,g_2$ $K[[X]]$ $R$tal que coinciden en los polinomios. De esa manera $g_1\circ i=g_2\circ i$ para la inclusión $i:K[X]\to K[[X]]$ pero $g_1\neq g_2$. Mostrando que $i$ no es un epimorphism.
Definir $g_i(s)=s$ $s\in R \subset K[[X]]$, $i=1,2$.
Ahora defina $g_1(e^X)=1$$g_2(e^X)=\sum_{n=0}^{\infty}X^n=(1-X)^{-1}$. En particular,$g_1(e^X)=1\neq (1-X)^{-1}=g_2(e^X)$. Esto define $g_1,g_2$ en el sub-anillo de $K[[X]]$ generado por $R$ y los poderes de $e^{nX}$$n\in\mathbb{Z}$, que son los elementos de la forma$\sum_{n=-N}^{N}e^{nX}a_n$$a_n\in R$. Observar cómo la trascendencia de $e^X$ implica que cada elemento de este sub-anillo tiene una expresión única en este formulario. Sus imágenes por $g_1,g_2$ $\sum_{n=-N}^{N}a_n$ $\sum_{n=-N}^{N}(1-X)^{-n}a_n$ respectivamente.
Tenemos $g_1,g_2$ definido en un mayor sub-anillo de $R_{1}$. Todavía tenemos que definir de manera adecuada los elementos de $K[[X]]$ que son algebraicos sobre $R_1$.
Suponga $Y\in K[[X]]$ es algebraico sobre $R_{1}$. Entonces existe un polinomio $p(Z)=a_0+a_1Z+...+a_nZ^n$ con coeficientes de $a_i\in R_1$ tal que $p(Y)=0$. Necesitamos definir $g_1,g_2$ $Y$ a ser una solución de $0=g_i(a_0)+g_i(a_1)Z+...+g_i(a_n)Z^n$, respectivamente. En $R$ tenemos soluciones de $0=g_i(a_0)+g_i(a_1)Z+...+g_i(a_n)Z^n$. Así, podemos enviarle $Y$ a una de esas soluciones. Esto se extiende $g_1,g_2$ a un mayor sub-anillo de $R_2$ de los elementos de $K[[X]]$ algebraicas sobre $R_1$.
Podemos volver a escoger un elemento de $K[[X]]$ trascendental $R_2$. La definición de sus imágenes en $R$ $1$ o $(1-X)^{-1}$ podemos extender $g_1,g_2$ nuevo y de nuevo a homomorphisms cada vez mayor subrings de $K[[X]]$.
Los resultados finales serán anillo homomorphism que son diferentes a las $e^X$ pero igual en los polinomios.
[Comentario indica que esta na\"he definición no es un homomorphism de los anillos.]
No. La inclusión no es un surjection.
Yo creo que el mapa de $i: K[X] \hookrightarrow K[[X]]$ tiene una división de mapa de $j: K[[X]] \rightarrow K[X]$ definido en $p(x) \in K[[X]]$ por $$j(p) = p \text{ if $p$ is a polynomial (i.e., finite degree)}$$ y $$j(p) = 0 \text{ if $p$ is not of finite degree }.$$
Este mapa $j$ es malo ("no continuo") debido a que $j(\lim p_n) \not= \lim j(p_n)$, pero no creo que tal cosa (la"continuidad"?) generalmente, por morfismos de anillos sin topología.
La existencia de la división le permite definir dos mapas de $K[[X]] \rightarrow K[[X]]$, un envío de todo el poder infinito de la serie a 0, el otro, el de la identidad.
A mí me parece que otra forma de hacer esta pregunta es la pregunta de si la categoría de la teoría de la cokernel $K[[X]]/K[X]$ es cero. Creo que este argumento demuestra que no lo es.
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