¿Cómo puedo mostrar que una secuencia de polígonos regulares con $n$ lados se convierte cada vez más como un círculo como $n \to \infty$?

Question

Si construimos polígonos regulares con un número mayor de lados, se parecen más y más círculos. Es intuitivamente verdadero. Espero que me ayuden a expresar y demostrar matemáticamente.

Answer 1

Aquí es un enfoque serio: Let $f_n\colon [0,2\pi]\to \Bbb R_+$ sea la función cuya gráfica, en coordenadas polares, es el regular $n$-gon centrado en el origen con un vértice en $(1,0)$. Entonces $(f_n)$ converge uniformemente a una función constante asignación de cualquier ángulo a $1$, cuya gráfica es un círculo.

También podemos mirar el límite de la zona, a la de Arquímedes y el perímetro.

Answer 2

El polígono regular acerca del círculo en el sentido siguiente:

• Todos los vértices del polígono están en el círculo.

• La distancia máxima del polígono al círculo es dado por $2R\sin^2(\frac{\pi}{2n})$, que va a cero como $n$ $\infty$.

Answer 3

Parece que vale la pena enfatizar que "parecen más y más, como círculos", admite varias interpretaciones. Las respuestas y comentarios actualmente visible decir que los polígonos convergen en el círculo de varias maneras: finalmente Se encuentran dentro arbitrariamente estrechos anillos sólo dentro del círculo. Sus áreas convergen en el círculo del área. Sus perímetros convergen en el círculo de la circunferencia. Uno podría agregar más; por ejemplo, para casi todos los radios $R$ que emana desde el origen, la dirección en la que el $n$-gon cruces $R$ converge a la dirección en la que el círculo cruces $R$ (es decir, perpendicular a $R$). El "casi" se refiere aquí a lo desagradable que un par (countably muchos) $R$'s de pasar a través de un vértice de uno de los polígonos, por lo que la dirección de cruce es indefinido allí, pero incluso estos $R$'s están bien si se utiliza el promedio de las indicaciones a la izquierda y a la derecha de $R$. Sospecho que hay un montón de otras propiedades de convergencia que uno podía estado y demostrar en esta situación. Una muy interesante, pero no matemática cuestión sería determinar cuál de las muchas nociones de convergencia provocar a la gente a decir que el $n$-ágonos para un gran $n$ "mira como los círculos".

Answer 4

La fórmula de medio ángulo es sin(t/2)

S = longitud de arco de 2*sin(t/2) = 2^54*sin(t/2^54) = pi/2 a 90 grados S = 2 * sin (90 grados/2) = 2^(1/2) aproximado 1.4141 longitud de arco = pi/2 aproximado 1.5707 Sn = 2 ^ 54 * pecado (90 grados/2 ^ 54) Sn = 2 ^ 53 lados círculo lados total = 4*(2^53) = 2 ^ 55 lados tanques Giuseppe Stagno

Answer 5

Yo he demostrado que el círculo es un polígono binario y tiene 2 ^ 55 lados

Las fórmulas son:

      I1 is the First Increment = (2+2x) ^ (1/2).
     arc lenght =[(2-I53) ^(1/2)]*2^53=pi/2 at 90 degree.
    t= degree

   Arc length=2^54*sin(t/2^54)=pi/2 at 90 degree.

Que Giuseppe Stagno el autor: mi correo gstagno31@gmail.com gracias