¿Cómo probar $\binom{n+2}{2}-\binom{n-1}{2}=3n$?

Question

Mientras que la lectura de una solución a uno de los problemas en el libro de texto, he encontrado esto en uno de los pasos de la solución:

$\binom{n+2}{2}-\binom{n-1}{2}=3n$

Yo estaba perplejo acerca de cómo ese resultado fue traído. Pensé que también puede venir con que con la simplificación. Así que traté de simplificar, pero fuera de suerte. Luego probé para algunos valores de $n$ e di cuenta de que es de hecho correcta. Es esto algo estúpido fácil y echo de menos algo básico? ¿Cómo puedo demostrarlo? Yo prefiero las dos soluciones: por algebraicas simplificación y por la doble contabilización argumento (si no puede ser cualquiera).

Answer 1

¿$\binom n2$ es el número triangular $(n-1)$-th, que es $$\binom n2=1+2+\cdots+(n-1).$ $ entonces $$\binom{n+2}2=1+2+\cdots+(n+1)$ $ y $$\binom{n-1}2=1+2+\cdots+(n-2).$ $ lo que queda cuando restamos estos?

Answer 2

Una combinatoria de la prueba.

$\binom{n+2}{2}$ es el número de pares no ordenados de elementos distintos de a $\{1,2,\dots,n+2\}$. De aquellos,

• $\binom{n-1}{2}$ son parejas de elementos, tanto en $\{1,2,\dots,n-1\}$,
• $3(n-1)$ son parejas donde uno de los elementos está en $\{n,n+1,n+2\}$ y uno es un elemento de $\{1,\dots,n-1\}$.
• $3=\binom{3}{1}$ son parejas donde ambos están en $\{n,n+1,n+2\}$.

Por lo $$\binom{n+2}{2}=\binom{n-1}{2}+3(n-1)+3$$

lo que le da su resultado.

De manera más general, por el mismo argumento, tenemos que:

$$\binom{a+b}{2} = \binom{a}{2}+ab+\binom{b}{2}$$

En particluar, si $b=2k+1$$a=n-k$, entonces:

$$\binom{n+k+1}{2}=\binom{n-k}{2}+(2k+1)n$$

Answer 3

En general, usted tiene ${m \choose 2} = m(m-1)/2$. Así que usted puede reescribir esto como

$$ {(n+2)(n+1) \over 2} - {(n-1)(n-2) \over 2} $$

y si usted ampliar el numerador y el denominador se obtiene

$$ {(n^2+3n+2) - (n^2-3n+2) \over 2} = {6n \over 2} = {3n}. $$

Como para una combinatoria argumento, el lado izquierdo de la cuenta de subconjuntos de a $\{1, 2, \ldots, n+2 \}$, de tamaño 2, que no son subconjuntos de a $\{1 ,2, \ldots n-1\}$. Es decir, estos son subconjuntos de a $\{ 1, 2, \ldots, n+2 \}$ que contienen al menos una de las $n, n+1$$n+2$. Hay tres conjuntos que contiene dos de $n, n+1$, e $n+2$, es decir,$\{n, n+1\}, \{n, n+2\}$$\{n+1, n+2\}$. Y hay $3(n-1)$ que contienen uno de $n, n+1$, e $n+2$ - para la construcción de un conjunto que tiene que elegir uno de esos tres "especial" elementos y uno de $1, 2, \ldots, n-1$. La adición de esas juntos obtendrá $3n$.

Answer 4

Sugerencia:\begin{align} \binom{n+2}{2}-\binom{n-1}{2} = \frac{(n+2)(n+1)}{2}-\frac{(n-1)(n-2)}{2} \end {Alinee el}

Answer 5

ps