Definen una subvariedad de $\mathbb{R}^n$

Question

Un submanifold (de $\mathbb{R}^n$), parece, puede ser definido de varias formas equivalentes. Una definición, parafraseado de Amann y Escher Análisis II, es la siguiente:

Un subconjunto $M$ $\mathbb{R}^n$ se dice que es suave $m$-dimensiones submanifold de $\mathbb{R}^n$ si para cada a $x \in M$ existe un abierto vecindario $U$$x$, un conjunto abierto $V$ $\mathbb{R}^n$ y un suave diffeomorphism $\phi:U \rightarrow V$ tal que $\phi(U \cap M) = V \cap (\mathbb{R}^m \times \{0\})$

Todo acerca de esta definición tiene sentido para mí, excepto la intersección de $V$ con el producto Cartesiano de a$\mathbb{R}^m$$\{0\}$, en lugar de sólo $\mathbb{R}^m$. ¿Por qué no requieren $\phi(U \cap M) = V \cap (\mathbb{R}^m)$?

Answer 1

En Willie fin, me voy a copiar-pegar los comentarios en una respuesta:

Esto es sólo para indicar cómo exactamente $\mathbb{R}^m$ se encuentra dentro de $\mathbb{R}^n$, es decir, como la primera $m$ coordenadas, en contraposición a, por ejemplo, la última $m$ coordenadas que debería ser escrita como $\{0\} \times \mathbb{R}^m$ por Amann-Escher. – Theo Buehler 18 de Mayo a las 19:56

@Theo: de modo que $\{0\}$ significa realmente $(0,...,0)$ ($n-m$ ceros) ? – Weltschmerz 18 de Mayo a las 20:56

@Theo: parece razonable; yo no era la interpretación de la $0$ como la intención del autor. Pensé que él iba a cruzar con el conjunto que contiene el número de $0$, lo que parecía muy misterioso @Weltschmerz: Sí, esa es mi interpretación – 3Sphere 18 de Mayo a las 21:03

@Weltschmerz: Sí. Más precisamente, escribir $\mathbb{R}^n = \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^{m−n}$ (por definición, $\mathbb{R}^n$ es el producto de $n$ copias de $\mathbb{R}$. Desde $V\subset \mathbb{R}^n$ por encima de, el conjunto $\mathbb{R}^m \times \{0\}$ es visto como un subconjunto de a $\mathbb{R}^n$ e las $0$ representa por el vector $(0,\ldots,0)$ $n−m$ entradas. En otras palabras: un vector $(x_1,\ldots,x_m) \in \mathbb{R}^m$ es visto como $(x_1,\ldots,x_m,0,\ldots,0) \in \mathbb{R}^n$. – Theo Buehler 18 de Mayo a las 21:07

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/me prods @Theo con una vaca-prod. "Venga, copiar lo que has escrito y pegarlo en una respuesta". – Willie Wong 19 minutos hace

@Willie: :))) aye, aye, Sir! – Theo Buehler 11 minutos hace