Cómo probar esto tienen un punto fijo común

Question

Si dos mapeos continuos $f$ y $g$ de un intervalo en si mismo conumute, es decir $$f(g(x))=g(f(x))$$ ¿entonces tienen un punto fijo común?

Este problema es de Mathemmatical Analysis (Zorich) PP169,Gracias a todos.

Answer 1

En el libro de texto de Zorich publicado en 2002 este ejercicio establece lo siguiente:

Si dos mapas continuos $f$ y $g$ de un segmento de línea en sí mismo conmutan, es decir $f\circ g = g \circ f$ entonces tienen un punto fijo común.

En la última versión del libro de texto de Zorich ( 2015 ) este ejercicio se modifica a casi la afirmación contraria:

Si dos mapas continuos $f$ y $g$ de un segmento de línea en sí mismo conmutan, es decir $f\circ g = g \circ f$ Entonces lo hacen no siempre tienen un punto fijo común, aunque para los mapas lineales y los polinomios en general siempre tenemos ese punto.

Aquí está la prueba para las funciones lineales.

Dejemos que $f(x), g(x)$ son funciones lineales conmutables. Supongamos que ninguna de ellas es constante o idéntica (si no, nuestra tarea es trivial). Entonces se cruzan con la recta $e(x) = x$ en un solo punto. Esto significa que ambos tienen un único punto fijo.

Dejemos que $f(x_0) = x_0$ . Supongamos que $g(x_0) = x_1 \neq x_0$ . Entonces $f(x_1) = f(g(x_0)) = g(f(x_0)) = g(x_0) = x_1$ y $f$ tiene dos puntos fijos, lo que es imposible para funciones lineales no idénticas.

Para los polinomios sólo puedo dar algunas pistas, porque no tengo una demostración completa.

Dejemos que $L = [a, b] \subset \mathbb{R},\ f = f|_L:L \to L, g = g|_L:L \to L$ son funciones polinómicas, $F$ y $G$ son conjuntos de puntos fijos de $f$ y $g$ respectivamente.

1) Supongamos que tenemos $f(x_i) = x_i \in F$ y $g(x_i) = x_j$ . A continuación, aplicamos la misma lógica, como en el caso anterior: $f(x_j) = f(g(x_i)) = g(f(x_i)) = g(x_i) = x_j$ . Esto significa que $g(x_i) \in F$ para cualquier $x_i \in F$ es decir $g(F) \subset F$ . De la misma manera, $\ f(G) \subset G$ .

2) Entonces, si $|F| = 1$ o $|G| = 1$ Entonces, hemos terminado. Dejemos que $|F| > 1$ y $|G| > 1$ .

3) $f$ es un polinomio $\Rightarrow$ tiene un grado finito $\Rightarrow$ tiene una cantidad finita de extremos $\Rightarrow$ si $f \not \equiv x$ entonces $|F|$ es finito. Por lo tanto, como $|G|$ . No consideraremos el caso cuando $f \equiv x$ o $g \equiv x$ porque es trivial.

4) Como $g(F) \subset F$ y $|F|$ es finito, entonces $g$ tiene un punto periódico en él. Esto significa que $g^n(x_i) = x_i$ . Así que $f$ y $g^n$ tienen un punto fijo común. Por lo tanto, como $g$ y $f^m$ .

Answer 2

¡¡¡Esto es sólo una pista, porque la pregunta carece seriamente de cualquier tipo de claridad!!!

Me hubiera gustado utilizar el "truco habitual" de la teoría de la medida. En tres pasos: primero lo habría demostrado para funciones constantes, luego para funciones simples y finalmente para funciones generales.

Paso 1

Supongamos que $g(x) = c$ donde $c\in \mathbb{R}$ es una constante. Y $f$ es una función continua. De la suposición, que conmutan, se deduce que:

$$f(c)=f(g(x))=g(f(x))=c$$ $$g(c)=c$$

Así que comparten un punto fijo.

Paso 2

¡Limpia tu pregunta!

Tu afirmación no es cierta en general.

Answer 3

No puedo comentar, así que lo publicaré como respuesta. La condición adicional es que el intervalo debe tener puntos finales, es decir, debe ser un intervalo cerrado. Por ahora no puedo probar este ejercicio.

Supongo que ese mapa $x - \frac{1}{x}$ no tiene punto fijo en $(0,1)$ intervalo, y conmuta con el mapa de identidad, $x$ , por lo que realmente no funciona para los intervalos abiertos.