Integrales impropias con singularidades en el eje REAL (Variable compleja)

Question

Estoy teniendo algunos problemas al intentar resolver las integrales impropias ejercicios que tienen singularidades en el eje real. He hecho un montón de ejercicios donde las singularidades están dentro de un semicírculo en la parte superior de medio lado, pero no sé cómo resolverlos cuando las singularidades están en el eje real. He leído algunos libros, pero creo que no está muy bien explicado (al menos, yo no las entiende).

Este es el ejercicio: $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos(2\pi x)}{x^2-1} dx$$

El uso de variable compleja, que yo tengo:

$$f(z) =\frac{e^{i2\pi z}}{z^2-1}$$ así que hay 2 singularidades: $z_1 = -1$ $z_2 = 1$

Yo uso una curva de $C$ que es holomorphic en su interior, debido a que ambas singularidades están fuera de ella. Por supuesto, puedo dividir $C$ en 6 curvas: $C_R$ que es el "techo" de la curva y, con el uso de Jordania Lema, puedo demostrar que

$$\int_{C_R}^{ } \frac{e^{i2\pi z}}{z^2-1} dx = 0$$

pero no sé qué tengo que hacer ahora. Vi en algunos lugares se dice que el Teorema de los Residuos sobre el semicírculo alrededor de las singularidades era algo así como: $$-i\pi\sum{}{}Res[f(z), z_k]$$, pero yo no entendía por qué.

Espero que usted me puede ayudar, porque no sé qué puedo hacer. Gracias!!

Answer 1

Divergentes Integral

Tenga en cuenta que $$ \frac{\cos(2\pi x)}{x^2-1}=\frac{\cos(2\pi x)}2\left(\frac1{x-1}-\frac1{x+1}\right) $$ La integral diverge en$x=-1$$x=1$, pero podemos calcular el Valor Principal de Cauchy, que consiste en extraer un pequeño intervalo centrado alrededor de cada singularidad.

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El Valor Principal De Cauchy

La razón por la que el centrado es importante es que si la singularidad es de primer orden, entonces tenemos una situación similar a la $$ \int_{-1}^{r}\frac1x\,\mathrm{d}x+\int_r^1\frac1x\,\mathrm{d}x=0 $$ cuando el efecto de la singularidad está cancelado alrededor de un intervalo centrado en a $0$ desde $\frac1x$ es una función impar.

Una manera fácil de enfoque de la evaluación del Valor Principal de Cauchy es usando el contorno de la integración. Considere la integral de $\frac1z$ a lo largo del contorno de la $\color{#0000FF}{[-1,-r]}\cup\color{#C000FF}{re^{i[\pi,0]}}\cup\color{#0000FF}{[r,1]}$: $$ \begin{align} &\int_{-1}^{-r}\frac1z\,\mathrm{d}z+\int_{\pi}^0\overbrace{\frac1{re^{i\theta}}}^{1/z}\,\overbrace{\vphantom{\frac1z}ire^{i\theta}\mathrm{d}\theta}^{\mathrm{d}z}+\int_r^1\frac1z\,\mathrm{d}z\\ &=\log(r)+\int_\pi^0i\,\mathrm{d}\theta-\log(r)\\ &=-\pi i \end{align} $$ que es $-\pi i$ veces el residuo de $\frac1z$ $0$ desde el contorno de la toma $\frac12$ giro de las agujas del reloj alrededor de $0$.

Por lo tanto, podemos calcular el Valor Principal de Cauchy mediante el cálculo de una integral de contorno y restando las contribuciones de los semicírculos alrededor de las singularidades, que va a ser $\pi i$ los tiempos de los residuos de esas singularidades.

Hay al menos dos maneras de evaluar el Valor Principal de Cauchy para este problema.

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El Contorno De Integración

El uso de las manecillas del contorno, que no contiene singularidades, $$ \small\color{#00A000}{\gamma}=\color{#0000FF}{[-R,-1-r]}\cup\overbrace{\color{#C000FF}{re^{i[\pi,0]}-1}}^{\begin{array}{c}\text{%#%#% turn clockwise}\\\text{about %#%#%}\end{array}}\cup\color{#0000FF}{[-1+r,1-r]}\cup\overbrace{\color{#C000FF}{re^{i[\pi,0]}+1}}^{\begin{array}{c}\text{%#%#% turn clockwise}\\\text{about %#%#%}\end{array}}\cup\color{#0000FF}{[1+r,R]}\cup\overbrace{\color{#C00000}{Re^{i[0,\pi]}}}^{\text{vanishes}} $$

como $\frac12$$-1$, obtenemos que $$ \begin{align} \small\mathrm{PV}\int_{-\infty}^\infty\frac{\cos(2\pi x)}{x^2-1}\,\mathrm{d}x &\,\small=\mathrm{Re}\!\left(\color{#0000FF}{\int_{-R}^{-1-r}\frac{e^{2\pi ix}}{x^2-1}\,\mathrm{d}x} +\color{#0000FF}{\int_{-1+r}^{1-r}\frac{e^{2\pi ix}}{x^2-1}\,\mathrm{d}x} +\color{#0000FF}{\int_{1+r}^R\frac{e^{2\pi ix}}{x^2-1}\,\mathrm{d}x}\right)\\ &\small=\mathrm{Re}\!\left(\color{#00A000}{\int_\gamma\frac{e^{2\pi iz}}{z^2-1}\,\mathrm{d}z} +\color{#C000FF}{\pi i\operatorname*{Res}_{z=-1}\left(\frac{e^{2\pi iz}}{z^2-1}\right)} +\color{#C000FF}{\pi i\operatorname*{Res}_{z=1}\left(\frac{e^{2\pi iz}}{z^2-1}\right)}\right)\\ &\small=\mathrm{Re}\!\left(\color{#00A000}{0}\,-\,\color{#C000FF}{\frac{\pi i}4}\,+\,\color{#C000FF}{\frac{\pi i}4}\right)\\[4pt] &\small=0 \end{align} $$

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La explotación de la Periodicidad $$ \begin{align} \mathrm{PV}\int_{-\infty}^\infty\frac{\cos(2\pi x)}{x^2-1}\,\mathrm{d}x &=\frac12\mathrm{PV}\int_{-\infty}^\infty\frac{\cos(2\pi x)}{x-1}\,\mathrm{d}x -\frac12\mathrm{PV}\int_{-\infty}^\infty\frac{\cos(2\pi x)}{x+1}\,\mathrm{d}x\\ &=\frac12\mathrm{PV}\int_{-\infty}^\infty\frac{\cos(2\pi x)}x\,\mathrm{d}x -\frac12\mathrm{PV}\int_{-\infty}^\infty\frac{\cos(2\pi x)}x\,\mathrm{d}x\\[6pt] &=0 \end{align} $$

Answer 2

$\newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\, nº 1 \,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\, nº 1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, nº 1 \,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\dsc}[1]{\displaystyle{\color{red}{#1}}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\Li}[1]{\,{\rm Li}_{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left (\, nº 1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large Un}\,#2\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert}$ Primero que todo nos damos cuenta de que $$\color{#66f}{% \,{\rm P. V.}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos\pars{2\pi x}}{x^{2} - 1}\,\dd x} =\Re\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\expo{2\pi x\ic} - 1}{x^{2} - 1}\,\dd x +\,{\rm P. V.}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\dd x}{x^{2} - 1} $$ La primera integral en el lado derecho, se desvanece a cabo lo que puede ser demostrado por medio de un contorno de integración. Entonces, nos quedamos con una 'simple' plazo: \begin{align}\color{#66f}{% \,{\rm P.V.}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos\pars{2\pi x}}{x^{2} - 1}\,\dd x} &=\,{\rm P.V.}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\dd x}{x^{2} - 1} \\[5mm]&=\lim_{\epsilon \to 0^{+}}\bracks{% \int_{-\infty}^{-1 - \epsilon}\frac{\dd x}{x^{2} - 1} +\int_{-1 + \epsilon}^{1 - \epsilon}\ \frac{\dd x}{x^{2} - 1} +\int_{1 + \epsilon}^{\infty}\frac{\dd x}{x^{2} - 1}} \end{align} Desde $\ds{\int\frac{\dd x}{x^{2} - 1} =\half\,\ln\pars{\verts{\frac{1 - x}{1 + x}}} + \mbox{a constant}}$, la expresión anterior se reduce a: \begin{align}&\color{#66f}{\large% \,{\rm P.V.}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos\pars{2\pi x}}{x^{2} - 1}\,\dd x} \\[5mm]&=\lim_{\epsilon \to 0^{+}}\ \braces{% \ln\pars{\verts{\frac{2 + \epsilon}{-\epsilon}}} +\ln\pars{\verts{\frac{\epsilon}{2 - \epsilon}\,\frac{\epsilon}{2 - \epsilon}}} -\ln\pars{\verts{\frac{-\epsilon}{2 + \epsilon}}}}=\color{#66f}{\large 0} \end{align}