Encontrar una solución: $3(x^2+y^2+z^2)=10(xy+yz+zx)$

Question

Soy algo así como 90% seguro de que este diophantine ecuación tiene soluciones no triviales:

$3(x^2+y^2+z^2)=10(xy+yz+zx)$

Sin embargo, no he sido capaz de encontrar una solución con mi calculadora. Les agradecería mucho si alguien puede tratar de encontrar uno con un programa. O tal vez sólo se puede adivinar que sucede a trabajar?

Gracias!

EDIT: Por no trivial me refiero a no $0$'s. (Créditos a Slade para que se acuerde de mí para definir este)

EDIT2: De hecho, usted es libre de encontrar una solución no trivial a $(3n-3)(x^2+y^2+z^2)=(9n+1)(xy+yz+zx)$ donde $n\equiv 1\pmod 5$ es un entero positivo. El que he publicado anteriormente, es el caso de $n=5(2)+1$, sino que hará mi día a día, si usted puede encontrar una solución no trivial para cualquier $n=5k+1$.

Answer 1

Como tengo entendido - este es el sitio para resolver el problema. La programación y el cálculo utilizando el equipo no es matemática. Si se desea calcular - hay una sección especial. http://mathematica.stackexchange.com/questions

Aquí es necesario resolver las ecuaciones.

Por la ecuación:

$$3(x^2+y^2+z^2)=10(xy+xz+yz)$$

La solución es simple.

$$x=4ps$$

$$y=3p^2-10ps+7s^2$$

$$z=p^2-10ps+21s^2$$

$p,s - $ cualquier entero que pedimos.

¿Por qué hacer un programa? ¿Cuál es el punto? Para qué?

Answer 2

Cuando escribió la ecuación él significaba probablemente que en la entrada.

$$q(x^2+y^2+z^2)=(3q+1)(xy+xz+yz)$$

Resulta que esta ecuación tiene una conexión con la ecuación de Pell:

$$p^2-5s^2=\pm1$$

Para $+1$ es necesario el uso de la primera solución de $(9 ; 4)$. Para $-1$ es necesario el uso de la primera solución de $(2 ; 1)$. Saber lo que la decisión puede ser encontrado en la siguiente fórmula.

$$p_2=9p_1+20s_1$$

$$s_2=4p_1+9s_1$$

El uso de las soluciones de la ecuación de Pell se pueden encontrar cuando hay soluciones. $q=\mp(p^2-s^2)$

Va a hacer un reemplazo. $t=\mp4ps$ , Entonces la solución puede ser escrita:

$$x=2(q+1)tkn$$

$$y=(q+t+1)k^2-2(3q+1)tkn+(t-q-1)(10q^2+7q+1)n^2$$

$$z=(t-q-1)k^2-2(3q+1)tkn+(t+q+1)(10q^2+7q+1)n^2$$

$k,n $ - enteros nos pidió. Puede ser necesario, después de todos los cálculos es la obtención de una solución relativamente simple, dividido por el mínimo común divisor.

Answer 3

Se trataba de un montón de tonterías los caracteres escritos a mano para que el software no prueba con un "captcha"

   0           1           3
   0           3           1
   1           0           3
   1           3           0
   3           0           1
   3           1           0
   3           9          40
   3          40           9
   5          32         119
   5         119          32
   8          11          65
   8          65          11
   9           3          40
   9          40           3
  11           8          65
  11          65           8
  13          15          96
  13          96          15
  15          13          96
  15          96          13
  32           5         119
  32         119           5
  40           3           9
  40           9           3
  65           8          11
  65          11           8
  96          13          15
  96          15          13
 119           5          32
 119          32           5

Answer 4

Mismo argumento si es divisible por $A+B$ $4.$ $\gcd(A,B) = 1,$ esto significa que ambos son impares. Entonces, con $B > A > 0,$ encontramos $B-a \equiv 2 \pmod 4.$ así, con $$ 12 g = (2A+B) u^2 + 3 (2A+B) v^2 -4(B-A) w^2, $ $ también conseguimos $2A+B$ impares. Nos escriba %#% $ $$ 2A + B=\psi , \; \; \; B_A = 2 \omega $ #% impares. Tenemos $\psi, \omega$ $ no es divisible por $$ 12 g = \psi( u^2 + 3v^2) - 8 \omega \, w^2. $ a menos que todos tres $16$ incluso. Así que otra vez es anisotrópico en $u,v,w$

Por lo tanto, no podemos tener $\mathbb Q_2.$ divisible por $A+B$

A continuación, en comparación especialmente $4.$

Answer 5

Aquí es una familia infinita:

quadratic form is g(x,y,z) = A (x^2 + y^2 + z^2 ) - B (yz + zx + xy)
given integers t > s > 0, neither divisible by 3, we take
A = (t^2 - s^2) / 3,
B = (t^2 + 2 s^2) / 3.
We do require gcd(A,B) = 1. TRICK: both (B-A), (B+2A) are SQUARES.
We display one triple x,y,z with g(x,y,z) = 0.
           A           B                x        y         z   
           1           2                1       196       169      t= 2 s= 1
           3          19                1        13         1      t= 5 s= 4
           5          54                1        22         1      t= 8 s= 7
           5           6                1         2         1      t= 4 s= 1
           7         107                1        31         1      t= 11 s= 10
           7          11                1         7         7      t= 5 s= 2
           8          33                1       106        26      t= 7 s= 5
           8           9                1         2         2      t= 5 s= 1
           9         178                1        40         1      t= 14 s= 13
          11         267                1        49         1      t= 17 s= 16
          11          27                1        61        29      t= 7 s= 4
          13         374                1        58         1      t= 20 s= 19
          13          38                1       121        46      t= 8 s= 5
          15          19                1         3         3      t= 7 s= 2
          15         499                1        67         1      t= 23 s= 22
          16         137                2        35         2      t= 13 s= 11
          16          17                2         3         2      t= 7 s= 1
          17         642                1        76         1      t= 26 s= 25
          17          66                1         8         1      t= 10 s= 7
          19         803                1        85         1      t= 29 s= 28
          19          83                1         9         1      t= 11 s= 8
          21          22                2         3         3      t= 8 s= 1
          21         982                1        94         1      t= 32 s= 31
          23        1179                1       103         1      t= 35 s= 34
          23         123                1        11         1      t= 13 s= 10
          24         313                2        53         2      t= 19 s= 17
          24          73                1        -6        -6      t= 11 s= 7
          25        1394                1       112         1      t= 38 s= 37
          25         146                1        12         1      t= 14 s= 11
          27        1627                1       121         1      t= 41 s= 40
          29        1878                1       130         1      t= 44 s= 43
          29         198                1        14         1      t= 16 s= 13
          31        2147                1       139         1      t= 47 s= 46
          31         227                1        15         1      t= 17 s= 14
          32         561                2        71         2      t= 25 s= 23
          32          57                1        16        16      t= 11 s= 5
          33        2434                1       148         1      t= 50 s= 49
          33          34                3         4         3      t= 10 s= 1
          35        2739                1       157         1      t= 53 s= 52
          35         291                1        17         1      t= 19 s= 16
          35          51                1         5         5      t= 11 s= 4
          35          99                1        65        25      t= 13 s= 8
          37        3062                1       166         1      t= 56 s= 55
          37         326                1        18         1      t= 20 s= 17
          39        3403                1       175         1      t= 59 s= 58
          39          43                3         5         3      t= 11 s= 2
          40         209                2        -6       -13      t= 17 s= 13
          40          41                3         4         4      t= 11 s= 1
          40         881                2        89         2      t= 31 s= 29
          40          89                1       -20       -20      t= 13 s= 7
          41        3762                1       184         1      t= 62 s= 61
          41         402                1        20         1      t= 22 s= 19
          43        4139                1       193         1      t= 65 s= 64
          43         443                1        21         1      t= 23 s= 20
          45         166                2        -9        -9      t= 16 s= 11
          45        4534               18       -27       -59      t= 68 s= 67
          47        4947               13       -17       -67      t= 71 s= 70
          47         531                1        23         1      t= 25 s= 22
          48        1273                2       107         2      t= 37 s= 35
          48          73                1         6         6      t= 13 s= 5
          49        5378               23       -40       -57      t= 74 s= 73
          49         578                1        24         1      t= 26 s= 23
          51        5827                9       -11       -75      t= 77 s= 76
          51          67                3         7         3      t= 13 s= 4
          53        6294               17       -23       -74      t= 80 s= 79
          53         678                1        26         1      t= 28 s= 25
          55         251                1        -5       -15      t= 19 s= 14
          55          59                3         5         5      t= 13 s= 2
          55        6779               27       -55       -55      t= 83 s= 82
          55         731                1        27         1      t= 29 s= 26
          56        1737                2       125         2      t= 43 s= 41
          56         177                2        13         2      t= 17 s= 11
          56         417                1        -4       -20      t= 23 s= 19
          56          57                4         5         4      t= 13 s= 1
          57        7282               28       -57       -57      t= 86 s= 85
          57          82                3         8         3      t= 14 s= 5
          59        7803               29       -59       -59      t= 89 s= 88
          59         843                1        29         1      t= 31 s= 28
          61        8342                5        -6       -91      t= 92 s= 91
          61         902                1        30         1      t= 32 s= 29
          63         163                1        -9        -9      t= 17 s= 10
          63        8899               31       -63       -63      t= 95 s= 94
          64        2273                2       143         2      t= 49 s= 47
          64         233                1        -6       -14      t= 19 s= 13
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          65         354                4       -13       -13      t= 22 s= 17
          65          66                4         5         5      t= 14 s= 1
          65        9474               23       -32       -89      t= 98 s= 97
          67        1091                1        33         1      t= 35 s= 32
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          72         697                4        79         4      t= 29 s= 25
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         143         339                1        17         7      t= 25 s= 14
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         145        1826                5       128         5      t= 46 s= 41
         145         194                3        11         8      t= 22 s= 7
         145        5186                1        72         1      t= 74 s= 71
         147         547                3        23         3      t= 29 s= 20
         149        5478                1        74         1      t= 76 s= 73
         151        5627                1        75         1      t= 77 s= 74
         152        1377                2        37         2      t= 41 s= 35
         152        3177                4       169         4      t= 59 s= 55
         152         321                1        16         8      t= 25 s= 13
         153         178                4         9         9      t= 22 s= 5
         155        2091                5       137         5      t= 49 s= 44
         155         219                5        13         5      t= 23 s= 8
         155        5931                1        77         1      t= 79 s= 76
         157        6086                1        78         1      t= 80 s= 77
         159         643                3        25         3      t= 31 s= 22
         160        1529                2        39         2      t= 43 s= 37
         160         209                3        10        10      t= 23 s= 7
         160         521                1        22         6      t= 29 s= 19
         161        1122                7       100         7      t= 38 s= 31
         161         162                7         8         7      t= 22 s= 1
         161        6402                1        80         1      t= 82 s= 79
         163        6563                1        81         1      t= 83 s= 80
         165        2374                5       146         5      t= 52 s= 47
         165         454                2       -15       -15      t= 28 s= 17
         165         694                3        26         3      t= 32 s= 23
         167        6891                1        83         1      t= 85 s= 82
         168         193                6        11         6      t= 23 s= 5
         168         289                1        12        12      t= 25 s= 11
         168        3889                3        -6       -62      t= 65 s= 61
         169        7058                1        84         1      t= 86 s= 83
         171         187                5         9         9      t= 23 s= 4
         173        7398                1        86         1      t= 88 s= 85
         175        1331                7       109         7      t= 41 s= 34
         175         179                7         9         7      t= 23 s= 2
         175        7571                1        87         1      t= 89 s= 86
         176        1017                7       -22       -22      t= 37 s= 29
         176         177                7         8         8      t= 23 s= 1
         176        1857                2        43         2      t= 47 s= 41
         177         802                3        28         3      t= 34 s= 25
         179        7923                1        89         1      t= 91 s= 88
         181        8102                1        90         1      t= 92 s= 89
         183         859                3        29         3      t= 35 s= 26
         184        2033                2        45         2      t= 49 s= 43
         184        4673               17       -28       -60      t= 71 s= 67
         184         473                4        21         4      t= 29 s= 17
         185        2994                5       164         5      t= 58 s= 53
         185         306                4        37        37      t= 26 s= 11
         185        8466                1        92         1      t= 94 s= 91
         187         251                3        11        11      t= 25 s= 8
         187         587                1       -59      -159      t= 31 s= 20
         187        8651                1        93         1      t= 95 s= 92
         189        1558                1        -6       -39      t= 44 s= 37
         191        9027                1        95         1      t= 97 s= 94
         192         241                4        12         9      t= 25 s= 7
         193        9218                1        96         1      t= 98 s= 95
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         195         451                1       -15       -15      t= 29 s= 16
         195         979                3        31         3      t= 37 s= 28
         197        9606                1        98         1      t= 100 s= 97
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         200         561                2       -14       -19      t= 31 s= 19
         201        1042                3        32         3      t= 38 s= 29
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         203         219                7        11         7      t= 25 s= 4
         205        3686                5       182         5      t= 64 s= 59
         205         374                2        41        41      t= 28 s= 13
         207         211                7         9         9      t= 25 s= 2
         208        1433                4       -11       -36      t= 43 s= 35
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         209         258                4        11        11      t= 26 s= 7
         209         738                4       -19       -19      t= 34 s= 23
         213        1174                2        -9       -33      t= 40 s= 31
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         221         342                2        13        13      t= 28 s= 11
         221         582                2       155        67      t= 32 s= 19
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         224         393                1        14        14      t= 29 s= 13
         224         513                1       -16       -16      t= 31 s= 17
         225         226                8         9         9      t= 26 s= 1
         231        1387                3        37         3      t= 43 s= 34
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         232        3257                2        57         2      t= 61 s= 55
         232        7457               27       -58       -58      t= 89 s= 85
         232         761                4        27         4      t= 35 s= 23
         235        4859               21       -47       -47      t= 73 s= 68
         235         491                1       -47       -47      t= 31 s= 16
         237        1462                3        38         3      t= 44 s= 35
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         240        1921                8       131         8      t= 49 s= 41
         240         361                6        17         6      t= 29 s= 11
         245        5286               22       -49       -49      t= 76 s= 71
         245         534                1       137        86      t= 32 s= 17
         247         347                3        13        13      t= 29 s= 10
         247         731                1       177        67      t= 35 s= 22
         248        3729                2        61         2      t= 65 s= 59
         248        8529                4        -7       -92      t= 95 s= 91
         248         873                4        29         4      t= 37 s= 25
         249        1618                1       -20      -119      t= 46 s= 37
         253        1094                6       -23       -23      t= 40 s= 29
         253         278                6        11        11      t= 28 s= 5
         255        1699                3        41         3      t= 47 s= 38
         255         451                1        15        15      t= 31 s= 14
         255        5731                5        -9       -75      t= 79 s= 74
         256        3977                2        63         2      t= 67 s= 61
         259        2963                7       163         7      t= 59 s= 52
         259         323                7        15         7      t= 29 s= 8
         261         262                9        10         9      t= 28 s= 1
         264         313                5        12        12      t= 29 s= 7
         264         433                3        18        10      t= 31 s= 13
         265        6194               13       -20       -75      t= 82 s= 77
         265         626                1       -15       -20      t= 34 s= 19
         267        1867                3        43         3      t= 49 s= 40
         272        2481                8       149         8      t= 55 s= 47
         272         297                8        13         8      t= 29 s= 5
         272        4497                2        67         2      t= 71 s= 65
         273        1954                3        44         3      t= 50 s= 41
         273        3298                7       172         7      t= 62 s= 55
         273         898                3       -72      -197      t= 38 s= 25
         275        1299                7       -25       -25      t= 43 s= 32
         275         291                7        11        11      t= 29 s= 4
         279         283                9        11         9      t= 29 s= 2
         280        1121                4        33         4      t= 41 s= 29
         280        1649                9       -28       -28      t= 47 s= 37
         280         281                9        10        10      t= 29 s= 1
         280         401                3        14        14      t= 31 s= 11
         280        4769                2        69         2      t= 73 s= 67
         280         809                2       186        71      t= 37 s= 23
         285        2134                3        46         3      t= 52 s= 43
         285         454                2        15        15      t= 32 s= 13
         285        7174               26       -57       -57      t= 88 s= 83
         287        3651                7       181         7      t= 65 s= 58
         287         387                7        17         7      t= 31 s= 10
         288         649                1       -18       -18      t= 35 s= 19
         291        2227                3        47         3      t= 53 s= 44
         295        7691               25       -45       -71      t= 91 s= 86
         295         779                5        27         5      t= 37 s= 22
         296        1257                1       -10       -34      t= 43 s= 31
         296        5337                2        73         2      t= 77 s= 71
         297        1522                3       -12       -37      t= 46 s= 35
         299        1083                1       -11       -31      t= 41 s= 28
         299         363                5        13        13      t= 31 s= 8
         301        4022                2        -7       -63      t= 68 s= 61
         301         422                7        18         7      t= 32 s= 11
           A           B                x        y         z 
quadratic form is g(x,y,z) = A (x^2 + y^2 + z^2 ) - B (yz + zx + xy)
given integers t > s > 0, neither divisible by 3, we take
A = (t^2 - s^2) / 3,
B = (t^2 + 2 s^2) / 3.
We do require gcd(A,B) = 1.
We display one triple x,y,z with g(x,y,z) = 0.