Evaluar la integral: integral de $\int 6^{-2x} dx$

Question

$$\displaystyle \int6^{-2x}dx$$

Tengo $-\dfrac{6^{-2x}}{2\ln6}$ pero no estoy seguro de que su correcto.

Answer 1

Que $y=6^{-2x}$, entonces \begin{align} \ln y=\ln\left(6^{-2x}\right)=-2x\ln6\qquad\rightarrow\qquad y=e^{-(2\ln6)x} \end{align} por lo tanto\begin{align} \int6^{-2x}\,dx&=\int e^{-(2\ln6)x}\,dx \end {Alinee el} Recuerde\begin{align} \int e^{ax}\,dx=\frac{e^{ax}}{a}+C \end {Alinee el} entonces\begin{align} \int6^{-2x}\,dx&=\int e^{-(2\ln6)x}\,dx\\ &=\frac{e^{-(2\ln6)x}}{-(2\ln6)}+C\\ &=-\frac{e^{-(2\ln6)x}}{2\ln6}+C\\ &=-\frac{6^{-2x}}{2\ln6}+C\\ \end {Alinee el}

Answer 2

Nuestra integral es: $$\int 6^{-2x} \ dx$ $ reescribir el integral: $$\int \left(6^{-2}\right)^x \ dx$ $ $$=\int \left(\frac{1}{36}\right)^x \ dx$ $ recuerda que: $$\int a^x \ dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$ $ en este caso es nuestro $a$ $\frac{1}{36}$ $$\int \left(\frac 1{36}\right)^x \ dx=\frac{\left(\frac{1}{36}\right)^x}{\ln \left(\frac{1}{36}\right)}+C$ $$$=\frac{6^{-2x}}{\ln\left(6^{-2}\right)}+C$ $$$=-\frac{6^{-2x}}{2 \ln 6}+C$ $Hope ayudó!