Conservación del momento lineal y angular

Question

Supongamos que tengo dos cuerpos rígidos A y B y que están conectados por un muelle que está unido de forma descentrada (por lo que puede provocar pares). Debido al muelle una fuerza $f$ actúa sobre A y una fuerza $-f$ actúa sobre B (en los respectivos puntos de unión) en dirección al muelle, como en la Fig. 1. ¿Cómo puedo demostrar la conservación del momento? $\frac{\rm d}{\rm dt} p_A + p_B = 0$ (donde $p_A$ y $p_B$ son los momentos lineales de A y B respectivamente) falta la parte angular y $\frac{\rm d}{\rm dt} p_A + p_B + L_A + L_B = 0$ (donde $L_A$ y $L_B$ son los momentos angulares de A y B alrededor de su centro de masas respectivamente) parece ser erróneo. Es $\frac{\rm d}{\rm dt} p_A + p_B + L_A^0 + L_B^0 = 0$ (donde $L_A^0$ y $L_B^0$ son los momentos angulares de A y B alrededor del origen respectivamente) el ansatz correcto?

¿Y si las fuerzas son opuestas pero no en la dirección del muelle como en la Fig. 2?

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Fig. 1: Fuerzas opuestas a lo largo de la línea entre los puntos donde actúan las fuerzas.

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Fig. 2: Fuerzas opuestas pero no a lo largo de la línea entre los puntos donde actúan las fuerzas.

Answer 1

El momento angular y lineal de las dos masas A y B no se conservan necesariamente de forma individual; son los momentos del sistema $S_{AB}$ que se conserva. Si se conocen las condiciones del sistema en un momento determinado $t$ Dibuja un diagrama de cuerpo libre y calcula los momentos del sistema. Sabiendo que estos valores se conservan, puedes utilizarlos como condiciones para ayudarte a resolver las fuerzas sobre el sistema en cualquier otro momento.

Answer 2

Para demostrar la conservación de las cantidades, es necesario poder calcular el movimiento del sistema para poder calcular directamente estas cantidades a partir de las coordenadas dependientes del tiempo y verificar que no cambian con el tiempo.

Sin embargo no creo que el movimiento de este sistema sea integrable: parece un oscilador múltiple y es muy propenso a desarrollar un movimiento caótico (como doble péndulo ), así que me temo que hay que asumir la conservación de los momentos.

Si sólo buscabas una forma de escribirlo te sugiero: $$\left\{\begin{array}{l} \frac{\rm d}{\rm dt}\Big( p_A + p_B \Big)= 0\\ \frac{\rm d}{\rm dt}\Big( L_A+L_B + L_A^0 + L_B^0 \Big)= 0 \end{array}\right.$$

que debe tener en cuenta todos los movimientos posibles de los componentes del sistema. Se puede tomar $L_A^0$ y $L_B^0$ con respecto al centro de masa o a cualquier otro punto fijo externo.

Finalmente tengo un comentario sobre la Fig. 2. que no representa un caso físico completo razonable. ¡Esas dos fuerzas desalineadas están produciendo un par de la nada dentro del sistema! No se debería encontrar un caso así en la naturaleza.

Answer 3

El momento angular $L_{A/B}$ de un cuerpo rígido $A/B$ alrededor de su centro de masa es

$$L_{A/B} = I_{A/B} \omega_{A/B},$$

donde $I_{A/B}$ es la matriz de inercia de $A/B$ sobre su centro de masa en el marco mundial y $\omega_{A/B}$ es la velocidad angular de $A/B$ . El momento angular $L_{A/B}^0$ de un cuerpo rígido $A/B$ sobre el origen del marco mundial es

$$L_{A/B}^0 = L_{A/B} + x_{A/B} \times p_{A/B},$$

donde $x_{A/B}$ son las coordenadas del centro de masa en el marco mundial. Entonces el momento angular total en el sistema con los cuerpos rígidos $A$ y $B$ sobre el origen del marco mundial es $L_{total}^0 = L_A^0 + L_B^0$ que supuestamente se conserva. El momento lineal total es $p_{total} = p_A + p_B$ .

El momento lineal total se conserva en cuanto las fuerzas $f_A$ y $f_B$ son de igual magnitud y dirección opuesta ( $f_A = f = -f_B$ ):

$$ \frac{\mathrm d}{\mathrm{d}t} ( p_A + p_B ) = m_A \dot{v}_A + m_B \dot{v}_B = f_A + f_B = f - f = 0,$$

donde $v_{A/B}$ es la velocidad de traslación de $A/B$ en el marco del mundo. La derivada del momento angular total con respecto al tiempo es

$$\begin{split} \frac{\mathrm d}{\mathrm{d}t} ( L_A^0 + L_B^0 ) & = \frac{\mathrm d}{\mathrm{d}t} (L_A + L_B + x_A \times p_A + x_B \times p_B) = \dot{L}_A + \dot{L}_B + x_A \times \dot{p}_A + x_B \times \dot{p}_B \\ & = \tau_A + \tau_B + x_A \times f_A + x_B \times f_B = r_A \times f_A + r_B \times f_B + x_A \times f_A + x_B \times f_B \\ & = (x_A + r_A - x_B - r_B) \times f. \end{split}$$

Así, el momento angular total se conserva si:

1. $x_A + r_A - x_B - r_B = 0$ es decir, el par de fuerzas actúa en las mismas coordenadas en el marco mundial,
2. $f = 0$ , es decir, no hay actos de fuerza,
3. $(x_A + r_A - x_B - r_B)\ ||\ f$ es decir, la fuerza actúa a lo largo de la línea de conexión.

La figura 1 satisface la condición número 3 y, por tanto, conserva el momento angular total. La Fig. 2 no satisface ninguna de las tres condiciones y, por tanto, no conserva el momento angular total.

Editar: El puesto de SO ¿Se conserva siempre el momento angular en ausencia de un par externo? contiene una prueba para partículas puntuales, que tiene un requisito análogo para que la conservación se mantenga (fuerzas a lo largo de la línea de conexión). El autor de la prueba ya la ha corregido.