¿Cuáles son los subórdenes rígidos de la línea real?

Question

Que son los rígidos subórdenes de la recta real?

Si a es cualquier conjunto de los reales, entonces puede ser visto como una estructura de orden en sí mismo bajo la inducida por el fin de (A,<). La pregunta es, cuando se esta estructura rígida? Que es, por la que se establece Un ¿la estructura de (A,<), no trivial fin de automorfismos?

Por ejemplo, los enteros positivos son rígidos bajo el orden habitual. Más en general, cualquier bien ordenado subconjunto de R es rígido. Del mismo modo, la lucha contra el orden establecido, tales como los enteros negativos, es también rígida.

También es cierto que la suma de cualquier orden, además de un anti-bien-orden rígido. Por ejemplo, una sucesión convergente hacia arriba a 0, además de una sucesión convergente hacia abajo a 0 se tiene el tipo de la orden ω+ω*, que es rígido. (Mientras que es fácil ver que la suma de un infinito anti-bien-orden y una infinita bien para no ser rígido, ya que tiene una copia de Z en el centro.) Un ejemplo más elaborado será bien ordenado suma de anti-bien-órdenes, como el conjunto formado por k+1/n para cualesquiera enteros positivos k y n.

Todos estos ejemplos son contables; hay innumerables ejemplos?

Tal vez habrá algunos ZFC independencia para ciertos tipos de ejemplos? Estoy principalmente interesado en la situación en virtud de ZFC. En ZF sin el Axioma de Elección, no puede ser extraño anomalías de uncoutable conjuntos de Dedekind finito. Todos estos conjuntos son rígidos, como he explicado en esta pregunta. Pero si alguien puede dar una ZF de caracterización, que también sería interesante.

Answer 1

He aquí un ejemplo simple de tamaño continuo. Hacer la ordinaria media de tercer construcción del conjunto de Cantor, excepto que cada vez que se elimine el $n$-th (numeradas de acuerdo a su nivel y, a continuación, de izquierda a derecha, por ejemplo) medio-tercer intervalo dejar en exactamente $n$ puntos de ese intervalo. Digamos que el conjunto resultante $X$. Cualquier automorphism de $X$ mapa (resp. de izquierda, de derecha), aislados de los puntos a (resp. izquierda, derecha) puntos aislados. Ya tenemos a la izquierda un número diferente de puntos en cada medio-tercer intervalo, el automorphism debe fijar cada punto interior de cada medio-tercer intervalo, así como sus dos extremos. Por la densidad, se sigue que la automorphism revisiones cada punto de $X$.

Todos sus ejemplos se encuentran dispersos, he comprobado el Rosenstein el Lineal de Compra para ver si tenía algo bueno que decir acerca de que esparció lineal órdenes son rígidos. Para mi desgracia, esto es lo que he encontrado: "Estas consideraciones parecen hacer imposible un argumento inductivo (en $F$-rango o $VD$-rank) para determinar qué dispersos tipos son rígidos." (p. 133) sin Embargo, él citar un resultado de Anne Morel (Ordenación de las relaciones de admisión de automorfismos, Fondo. De matemáticas. 54 (1964), 279-284.) que dice que un orden lineal $A$ no es rígido si y sólo si $A \cong A_1 + A_2\times\mathbb{Z} + A_3$ para algunos lineal ordenamientos $A_1,A_2,A_3$, $A_2$ no vacío.

Denso ejemplos de rígido subconjuntos de a $\mathbb{R}$ sería interesante ver. Esto probablemente no es demasiado difícil de construir, según el cap. Pero un ZFC ejemplo podría tener que lidiar con barreras importantes tales como Baumgartner es el resultado de que Todos los ${\aleph_1}$-denso subconjuntos de a $\mathbb{R}$ puede ser isomorfo, Fondo. De matemáticas. 79 (1973), 101-106. Tal vez hay algunos ejemplos en este clásico papel de Sierpinski Sur les tipos d'ordre des conjuntos linéaires, Fondo. De matemáticas. 37 (1950), 253-264.

Los tres trabajos se pueden encontrar aquí.

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Addendum (después de sdcvvc del comentario): en aras de la exhaustividad, estoy incluyendo una simplificación de la Dushnik-Miller argumento de que produce un subconjunto denso $X$ $\mathbb{R}$ que es rígido (aunque no el más fuerte resultado que $X$ no tiene auto-incrustaciones).

Para asegurar la densidad, el conjunto $X$ va a contener todos los números racionales. Tenga en cuenta que un automorphism $f$ $X$ está totalmente determinado por su restricción a $\mathbb{Q}$. En efecto, desde el $f[\mathbb{Q}]$ debe ser denso (en $X$ e)$\mathbb{R}$, siempre tenemos

$f(x) = \sup\{f(q):q \in (-\infty,x)\cap\mathbb{Q}\} = \inf\{f(q):q \in (x,\infty)\cap\mathbb{Q}\}.$

Sólo hay $c = 2^{\aleph_0}$ el aumento de los mapas de $f:\mathbb{Q}\to\mathbb{R}$ con densa gama. Deje $\langle f_\alpha:\alpha<c \rangle$ enumerar todos estos mapas, excepto para la identidad en $\mathbb{Q}$.

Vamos a definir por la inducción de una secuencia $\langle (x_\alpha,y_\alpha) : \alpha<c \rangle$ de los pares de números irracionales. El $x_\alpha$ serán puntos de $X$, mientras que el $y_\alpha$ en el complemento de $X$. Para cada una de las $\alpha$, tendremos $f_\alpha(x_\alpha) = y_\alpha$ (en el sentido de la inf/sup definición anterior).

Supongamos que hemos definido $(x_\beta,y_\beta)$$\beta<\alpha$. Desde $f_\alpha$ no es la identidad, no es racional, $q$ tal que $f_\alpha(q) \neq q$. Supongamos que $f_\alpha(q) > q$ (en el caso de $f_\alpha(q) < q$ es simétrica). Puesto que el verdadero intervalo de $(q,f_\alpha(q))$ tiene el tamaño de $c$ y la extensión de $f_\alpha$ a todos los de $\mathbb{R}$ es inyectiva, siempre podemos escoger

$x_\alpha \in (q,f_\alpha(q)) \setminus(\mathbb{Q}\cup\{y_\beta:\beta<\alpha\})$

tal que $y_\alpha = f_\alpha(x_\alpha) \notin \mathbb{Q}\cup\{x_\beta:\beta<\alpha\}$. Tenga en cuenta que$x_\alpha < f_\alpha(q) < y_\alpha$$x_\alpha \neq y_\alpha$.

En la final, vamos a tener

$\{x_\alpha: \alpha < c\} \cap \{y_\alpha : \alpha<c\} = \varnothing$

y cualquier conjunto $X$ tal que

$\mathbb{Q}\cup\{x_\alpha:\alpha<c\} \subseteq X \subseteq \mathbb{R}\setminus\{y_\alpha:\alpha<c\}$

es necesariamente rígida desde $f_\alpha(x_\alpha) = y_\alpha \notin X$ por cada $\alpha<c$.

Answer 2

Uno puede construir los incontables usando inducción del transfinite.

por ejemplo

J. van Mill, técnica Sierpin ́ski y subconjuntos de R, arriba. Liquid 44 (1992), 241-261.

tiene estos ejemplos, en ZFC.

Enumera todos los homeomorphisms de candidato (en este caso) en una secuencia bien ordenada en longitud c y luego construye el juego de "matar" la alfa de candidato en alfa de la etapa de la recursividad. Existen ejemplos probablemente más viejos, pero yo pude recordar esta. Compruebe hacia fuera.