Una desigualdad de operador

Question

Estaría muy agradecido si pudieras ayudarme a demostrar la siguiente desigualdad de operadores. Sea $A$ un operador lineal arbitrario en un espacio de Hilbert, que satisface $$\left\|AA^{\ast} - A^{\ast}A\right\|\leq 2a$$ donde $A^{\ast}$ es el adjunto hermitiano y $a>0$ es una constante. Sea $\varepsilon$ igual a $+1$ o $-1$. Entonces muestra que $$2\sqrt{A^{\ast}A + aI} - \varepsilon\left(A + A^{\ast}\right) \geq 0$$ ¡Gracias!

Answer 1

En esta respuesta asumimos que $A$ es un operador acotado en un espacio de Hilbert complejo $H.

Prueba esquematizada e indicaciones:

1. Podemos escribir de manera única $A=B+iC$, donde $B$ y $C$ son operadores autoadjuntos. Definimos el operador autoadjunto $D:=i[C,B]=D^{\dagger}$. Entonces, la afirmación de OP se puede expresar como $$\tag{1} ||D|| ~\leq ~a \qquad \Rightarrow \qquad \sqrt{A^{\dagger}A+aI} ~\geq~ \pm B. $$

2. Muestra que (1) es una consecuencia de $$ \tag{2}||D|| ~\leq ~a \qquad \Rightarrow \qquad\sqrt{A^{\dagger}A+aI}~\geq~ \sqrt{ B^2 }. $$

3. Muestra que (2) es una consecuencia de $$ \tag{3}||D|| ~leq ~a \qquad \Rightarrow \qquad\sqrt{A^{\dagger}A+aI}~geq~ \sqrt{ B^2 +C^2 }. $$

4. Muestra que (3) es equivalente a $$ \tag{4}||D|| ~leq ~a \qquad \Rightarrow \qquad A^{\dagger}A+aI~geq~ B^2 +C^2 . $$

5. Muestra que (4) es equivalente a $$\tag{5}||D|| ~leq ~a \qquad \Rightarrow \qquad aI~geq~ D .$$

6. Muestra (5).