La base de un subgrupo $H \subset \mathbb Z^4$

Question

Estimado compañero mathstack intercambiadores,

Hay una pregunta en mi temario de álgebra abstracta tengo problemas para resolver, el principal problema es que no hay ninguna descripción clara del algoritmo es necesario. Lo siento por mi falta de iniciativa, pero no sé dónde empezar. Aquí está la pregunta:

Encontrar la base para el subgrupo $H \subset \mathbb Z^4$, dado por $$H = \{ (a,b,c,d) \mid a + b + c + d = 0~~~\text{and}~~a \equiv c~~ (\bmod 12) \}$ $

¡Gracias por la ayuda!

PD: Este es mi primer post de intercambio mathstack

Answer 1

El % de relaciones $a+b+c+d=0$y $a=c \mod 12$ $(a,b,c,d)$ pueden ser escritos como $a+b+a+12e+d=0$ $(a,b,a+12e,d)$. Teniendo en cuenta $g_1:=(1,0,1,-2), g_2:=(0,1,0,-1),$ $ g_3:=(0,0,12,-12)$ forma y a base del módulo $\mathbb{H}$. Hay muchas otras bases de $\mathbb{H}.$ PS El conjunto de las bases de $\mathbb{H}$ es infinito. No veo ningún algoritmo general para ello.