En el texto muchos de modelo estándar, encuentro la relación\begin{align} SU(2)_L \times U(1)_L ~=~ U(2)_L. \end {Alinee el} $L$ significa la left-handness. (Es una meaning(representation) física, que dice que Fermión con izquierda o derecha handness (quiralidad).) Me pregunto que por encima de la relación es en general cierto caso, $i.e$, \begin{align} SU(2) \times U(1) ~=~ U(2). \end {alinee el}
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La correspondiente Mentira grupo de isomorfismo lee $$\tag{1a} U(2)~\cong~[U(1)\times SU(2)]/\mathbb{Z}_2. $$ En detalle, la Mentira grupo de isomorfismo (1a) está dada por $$U(2)~\ni~ g\quad\mapsto\quad $$ $$ \left(\sqrt{\det g}, \frac{g}{\sqrt{\det g}}\right) ~\sim~ \left(-\sqrt{\det g}, -\frac{g}{\sqrt{\det g}}\right)$$ $$\tag{1b}~\in ~[U(1)\times SU(2)]/\mathbb{Z}_2.$$ Aquí el $\sim$ símbolo denota una $\mathbb{Z}_2$-relación de equivalencia. El $\mathbb{Z}_2$-acción resuelve la ambigüedad en la definición de la doble valor de la raíz cuadrada.
Parece natural hablar de que la Mentira grupo de isomorfismo (1a) se generaliza de una manera directa a $$\tag{2a} U(n)~\cong~[U(1)\times SU(n)]/\mathbb{Z}_n, $$ donde $n\geq 2$ es un número entero. En detalle, la Mentira grupo de isomorfismo (2a) está dada por $$U(n)~\ni~ g\quad\mapsto\quad $$ $$ \left(\sqrt[n]{\det g}, \frac{g}{\sqrt[n]{\det g}}\right) ~\sim~ \left(\omega^k\sqrt[n]{\det g}, \frac{g}{\omega^k\sqrt[n]{\det g}}\right)$$ $$\tag{2b} ~\in ~[U(1)\times SU(n)]/\mathbb{Z}_n,$$ donde $\omega:=\exp\left(\frac{2\pi i}{n}\right)$ $n$'th raíz de la unidad, y $k\in\mathbb{Z}$.
