¿$ \sum_{n\geq 2} \dfrac{\ln(1+n)}{\ln(n)}-1$ Convergen/divergen?

Question

¿Cómo podría usted demostrar la convergencia/divergencia de las siguientes series?

$$ \sum_{n\geq 2}\left( \dfrac{\ln(1+n)}{\ln(n)}-1\right)$$

Estoy interesado en más formas de demostrar la convergencia/divergencia de esta serie.

Mis pensamientos

$$\dfrac{\ln(1+n)}{\ln(n)}=\frac{\ln(n(1+\dfrac{1}{n})}{\ln(n)} =\frac{\ln(n)+\ln(1+\frac{1}{n})}{\ln(n)} =1+\frac{\ln(1+\frac{1}{n})}{\ln(n)}$$

entonces

$$\dfrac{\ln(1+n)}{\ln(n)}-1=\frac{\ln(1+\frac{1}{n})}{\ln(n)}$$

tenga en cuenta que $\ln(1+\frac 1n)=\frac 1n+o(\frac 1n)$ $\ln(1+\frac 1n)\sim \frac 1n$ $u_n-1\sim \frac 1{n\ln(n)}$

o la serie de $\dfrac{1}{n\ln(n)}$ divergentes por Bertrand de la prueba

la suma de hasta $ \sum_{n\geq 2} \dfrac{\ln(1+n)}{\ln(n)}-1$ divergentes

• Es mi prueba correcta

Answer 1

Otra manera de verlo es observar ese % $ $$\frac{\ln(n+1)-\ln n}{\ln n}\ge \int_{\ln n}^{\ln(n+1)}\frac{dt}{t}$por lo tanto $$ \sum_ {n = 2} ^ m\frac {\ln(n+1)-\ln n} {\ln n} \ge\int_ {\ln 2}^{\ln(m+1)} \frac {dt} {t} > \ln(\ln(m+1))$ $ y sigue la conclusión.

Answer 2

Tenga en cuenta también, con el simple hecho de que $\lim_{n\to\infty} \left(1+1/n\right)^n =e$, que en $n$ grandes, que tenemos

$$\dfrac{\ln(1+1/n)}{\ln(n)}=\dfrac{\ln(1+1/n)^n}{n\ln(n)}\approx \frac{1}{n \ln(n)}$ $ donde para conseguir la igualdad I mutiplied numerador y denominador por $n$.

Answer 3

Una manera más rápida de llegar a la misma serie para aplicar la prueba de comparación de límite utiliza el teorema del valor medio: $$\ln(1+n) - \ln(n) \approx \frac{1}{n}$ $ $$\frac{\ln(1+n)}{\ln(n)} - 1 \approx \frac{1}{n\ln n}.$ $

Answer 4

Ya ha habido varias formas sólidos avance presentados. Aquí utilizamos las desigualdades estándar solamente.

Para ello, contamos con las desigualdades

$$\frac1{2n}<\frac{1}{n+1}\le\log\left(1+\frac1n\right) \tag 1$$

válido para $n\ge 2$.

Por lo tanto, $n\ge 2$, tenemos

$$\frac{\log (n+1)-\log n}{\log n}\ge \frac{1}{(n+1)\log n} \ge \frac{1}{2n\log n} \tag 3$$

Ya que la serie a la derecha del $(3)$ diverge por la prueba integral, entonces la serie original también diverge. Y ya terminamos.