¿Categoría teórica límite relacionadas con límite topológico?

Question

¿Hay alguna conexión entre la categoría de la teoría de la expresión 'límite' (=universal de cono) sobre el diagrama, y topológicas término "punto límite" de una secuencia, la función, la red...?

Para ser más precisos, hay una categoría de la teoría de la configuración de algunos no trivial espacio topológico tal que estos diferentes conceptos del término "límite" de alguna manera se relacionan?

Esta pregunta vino a mí después de que me vio ( http://www.youtube.com/watch?v=be7rx29eMr4 ) una sorprendente hecho de que la generalizada métrica espacios puede ser visto como categorías enriqueció a lo largo de preorder $([0,\infty],\leq)$.

Answer 1

La conexión es bien conocida (en particular estoy afirmando no hay originalidad, no recuerdo donde he encontrado esto, aunque !): Deje $(X,\mathcal O)$ ser un espacio topológico, $\mathcal F(X)$ el poset de los filtros en la $X$ con respecto a las inclusiones, considerada como una (pequeña, delgada) categoría en la forma habitual. Dado $x\in X$ $F\in\mathcal F(X)$ deje $\mathcal U_X(x)$ denotar el barrio de filtro de $x$ $(X,\mathcal O)$ $\mathcal F_{x,F}(X)$ el total de la subcategoría de $\mathcal F(X)$ generado por $\{G\in\mathcal F(X):F\cup\mathcal U_X(x)\subseteq G\}$, vamos a $E:\mathcal F_{x,F}\hookrightarrow\mathcal F(X)$ ser obvio (incrustación) diagrama, $\Delta$ el habitual diagonal functor y $\lambda:\Delta(F)\rightarrow E$ la transformación natural donde $\lambda(G):F\hookrightarrow G$ es la inclusión de cada una de las $G\in\mathcal F_{x,F}$. No es difícil ver que $F$ tiende a $x$ $(X,\mathcal O)$ fib $\lambda$ es un límite de $E$. Saludos - Stephan F. Kroneck.

Answer 2

Deje $\rm X$ $\rm Y$ $\rm T_1$ espacios topológicos. Deje $f : \rm X \to Y$ ser cualquier función y deje $x \in \rm X$.

Entonces, debido a $\rm X$ $\rm T_1$ espacio topológico, si $\mathcal V_x$ es el filtro de los barrios de $x$, $$ \lim_{\mathcal V_x} \mathrm V = \bigcap_{\mathrm V \in \mathcal V_x} \mathrm V = \{x\}.$$

Ahora supongamos $f$ es continua en a $x$. Eso significa que el filtro de $f(\mathcal V_x)$ es más fino que el de $\mathcal V_{f(x)}$. Esto implica que $$ \{f(x)\} \subset \lim_{\mathcal V_x} f(\mathrm V) \subset \bigcap_{\mathrm W \in \mathcal V_{f(x)}} \mathrm W = \{f(x)\}$$

Conclusión : si $f$ es continua en a $x$ $$\lim_{\mathcal V_x} f(\mathrm V) = f(\lim_{\mathcal V_x}\mathrm V).$$

Más generalmente, si $\mathfrak F$ es cualquier ultrafilter convergentes a $x$ :

• si $\bigcap \mathfrak F = \emptyset$,$\bigcap f(\mathfrak F) = \emptyset$ ;

• o $\bigcap \mathfrak F = \{x\}$ y debido a $\mathcal V_{f(x)} \subset f(\mathcal V_x) \subset f(\mathfrak F)$,$\bigcap f(\mathfrak F) = \{f(x)\}$.

Así que en ambos casos, $$\lim_{\mathfrak F}f(\mathrm V) = f(\lim_{\mathfrak F} \mathrm V).$$