¿Es el producto de $\sigma$-álgebra un producto del tensor en algún sentido?

Question

En la página de wikipedia para medidas del producto dice:

Deje $(X_{1},\Sigma _{1})$ $(X_{2},\Sigma _{2})$ dos espacios medibles, es decir, $\Sigma _{1}$ $\Sigma _{2}$ son de sigma álgebra de operadores en $X_{1}$ $X_{2}$ respectivamente, y deje $\mu _{1}$ $\mu _{2}$ ser medidas en estos espacios. Denotar por $\Sigma _{1}\otimes \Sigma _{2}$ el sigma álgebra en el producto Cartesiano $X_{1}\times X_{2}$ generado por los subconjuntos de la forma $B_{1}\times B_{2}$ donde$B_{1}\in \Sigma _{1}$$B_{2}\in \Sigma _{2}$. Este sigma álgebra es el llamado tensor de producto σ-álgebra en el espacio del producto. Un producto de medida $\mu _{1}\times \mu _{2}$ se define como una medida en el espacio medible $(X_{1}\times X_{2},\Sigma _{1}\otimes \Sigma _{2})$ la satisfacción de la propiedad:

$(\mu _{1}\times \mu _{2})(B_{1}\times B_{2})=\mu _{1}(B_{1})\mu_{2}(B_{2})$

para todos $B_{1}\in \Sigma _{1},\ B_{2}\in \Sigma _{2}$.

una. Puedo ver que el producto de $\sigma$-álgebras es una categoría de producto; sin embargo, es correcto decir que también es un producto tensor en algunos analógica para el producto tensor en espacios vectoriales? En cuyo caso, ¿cómo? Y es que hay una característica universal, que se expresa como tal?

b. No veo la manera de expresar el producto de medidas como una categoría de producto. Es?

A pesar de que el tensor de productos son generalmente definidos para espacios vectoriales, su forma más general, se define por abelian grupos:

Para $A$ $B$ dos abelian grupos, su producto tensor $A\otimes B$ es un nuevo grupo abelian que es tal que un grupo de homomorphism $A\otimes B \rightarrow C$ es equivalente a un bilineal mapa de $A$$B$.

A continuación, algunos indicios de que podría ser capaz de interpretar el producto de medidas como una especie de 'producto tensor' es que suponiendo $B_1$ $B_1'$ son distintos en $\Sigma_1$, tenemos:

$(\mu _{1}\times \mu _{2})((B_{1} \sqcup B_1')\times B_{2})=\mu _{1}(B_{1} \sqcup B_1')\mu_{2}(B_{2})=(\mu _{1}B_{1}+ \mu _{1}B_{1}') \times \mu_{2}B_{2}$

=$(\mu_1 \times \mu_2)(B_1,B_2)+(\mu_1 \times \mu_2)(B_1',B_2)$

Que se cumpla el bilinearity de la propiedad para el producto tensor para distintos conjuntos.

Answer 1

En mi opinión esto debería ser simplemente llama el producto de los dos espacios medibles. De hecho, cumple con la correspondiente universal de los bienes.

Para responder a su pregunta general, usted debe buscar en monoidal categorías. Cada categoría de productos tiene una estructura monoidal con $\otimes = \times$. La categoría de espacios vectoriales también es monoidal con $\otimes$ siendo el habitual producto tensor.

Answer 2

Tener una característica universal, uno primero debe definir una categoría. Por lo tanto, si tomamos la categoría de medir los espacios, donde los objetos son pares $(X,\Sigma)$ de un conjunto y un sigma álgebra, y morfismos $f:(X,\Sigma)\to (Y,\Sigma ')$ funciones $f:X\to Y$ que son medibles, entonces el tensor de producto que usted menciona no es nada, pero de la categoría de producto. Observe, sin embargo, que su pregunta se mencionan las medidas de $\mu_1,\mu_2$ que no se usan nunca. Que puede indicar que lo que realmente tenía en mente era para hablar sobre el producto de las medidas en cierta manera categórica. Que es mucho más sutil, ya que es totalmente no es claro lo que es una manera útil para definir una categoría de medidas. De manera intuitiva, se debe tener objetos triples $(X,\Sigma, \mu)$, un conjunto con un sigma álgebra, y una medida así. Pero ¿qué debe hacer el morfismos ser?

Hay varias maneras de responder a esa pregunta, que conduce a resultados interesantes, de los cuales solo mencionaré en este artículo.