En la pregunta: límite Inversa de los módulos y el producto tensor, Matt E da un ejemplo de que la inversa de los límites y de tensor de productos no conmutan sobre el anillo de la base $\mathbb{Z}$. Luego pasa a mostrar que sí, si uno se toma un límite sobre los módulos de longitud finita y tensores con un finitely presentado módulo. Hay contraejemplos en la categoría de espacios vectoriales sobre un campo $k$ (no necesariamente finito dimensionales, por supuesto)?
Respuesta
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Lijo
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Sí. Tome un campo $k$. A continuación, $k[[t]]$ es (isomorfo a) el producto de un número infinito de copias de $k$. Si $V = k^\infty$ es un infinito espacio tridimensional, entonces la canónica mapa de $k[[t]] \otimes_k V \to V[[t]] \simeq \prod_{n=1}^\infty k \otimes V$no es un isomorfismo: su imagen es el subespacio de los elementos del producto que los coeficientes lapso de un número finito de dimensiones subespacio de $V$.
De hecho, los elementos de su imagen son de la forma $x(t) = \sum_{k=1}^d R_k(t) \otimes v_k$ donde $R_k$ son de alimentación de la serie y $v_k \in V$, y los coeficientes de $x$ están en el espacio vectorial $\mathrm{Span}(v_1, \dots, v_d)$ que es finito dimensional. Por otro lado, si $(e_i)$ es una base de $k^\infty$, $\sum_{i=1}^\infty e_i t^i$ no está en la imagen.
Este ejemplo es la motivación para la definición de la realización del producto tensor, por el camino.
