Orden parcial estricto

Question

Sé lo que es un orden parcial: por ejemplo el conjunto de potencias de un conjunto o los números naturales.

Pero un estricto el orden parcial es un conjunto con una relación binaria $R$ para que $R$ es transitivo, irreflexivo (no $x < x$ ) pero antisimétrico ( $x < y$ y $y < x$ implica $x=y$ ).

No encuentro ningún ejemplo de ello. Si es relación estricta la tercera propiedad, $x < y$ y $y < x$ implica $x=y$ parece imposible. ¿Cuál es un ejemplo de orden parcial estricto?

Answer 1

La tercera propiedad es superflua. Si $\prec$ es una relación transitiva e irreflexiva sobre un conjunto $X$ entonces también es asimétrico para todos $x, y \in X$ o bien $x \not\prec y$ o $y \not\prec x$ .

Si $x \prec y$ y $y \prec x$ entonces por transitividad $x \prec x$ , contradiciendo la irreflexividad.

Esto significa que la hipótesis de la relación de antisimetría nunca puede cumplirse para las relaciones irreflexivas transitivas, por lo que dicha propiedad se satisface de forma vacía en dichas relaciones.

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Dado un orden parcial cualquiera $\preceq$ en un conjunto $X$ la relación $\prec$ en $X$ definido por $$x \prec y \quad \Longleftrightarrow \quad x \preceq y \;\&\; x \neq y$$ es un orden parcial estricto en $X$ .

Así, por ejemplo:

• El $<$ relación con los números reales/racionales/enteros/naturales.
• El $\subsetneq$ relación con $\mathcal{P} (X)$ para cualquier conjunto $X$ .